Реши

Пришли, пожалуйста, фото или текст всех заданий варианта 1 — условия пока нет.

Это продолжение текущего задания: на изображении вариант 1. Решим все уравнения. Во всех ответах \(k\in\mathbb Z\).

1.

\[ \cos 3x=\frac12 \] \[ 3x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \] \[ \boxed{x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}} \]

2.

\[ \sin\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt3}{2} \] \[ \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad\text{или}\quad \frac{x}{2}=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \] \[ \boxed{x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi k\quad\text{или}\quad x=-\frac{4\pi}{3}+4\pi k} \]

3.

\[ \tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt3 \] \[ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+\pi k \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\pi k} \]

4.

Пусть \(t=\sin x\): \[ 2t^2-t-1=0 \] \[ (2t+1)(t-1)=0 \] \[ \sin x=-\frac12\quad\text{или}\quad \sin x=1. \] Ответ: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k} \]

5.

Пусть \(t=\tan x\), тогда \(\cot x=\frac1t\): \[ 3t+\frac2t=5 \] \[ 3t^2-5t+2=0 \] \[ (3t-2)(t-1)=0. \] Следовательно, \[ \boxed{x=\arctan\frac23+\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi k} \]

6.

Пусть \(t=\cos\frac{x}{3}\). Так как \[ \cos\frac{2x}{3}=2t^2-1, \] получаем: \[ 2t^2-1-5t-2=0 \] \[ 2t^2-5t-3=0 \] \[ (2t+1)(t-3)=0. \] Значение \(t=3\) невозможно, поэтому \[ \cos\frac{x}{3}=-\frac12. \] \[ \boxed{x=2\pi+6\pi k\quad\text{или}\quad x=4\pi+6\pi k} \]

7.

Пусть \(t=\sin x\): \[ 1-2t^2+4\sqrt2t-4=0 \] \[ 2t^2-4\sqrt2t+3=0. \] Корни: \[ t=\frac{\sqrt2}{2},\qquad t=\frac{3\sqrt2}{2}. \] Второй корень не подходит, поэтому \[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k} \]

8.

\[ \cos x-3\sin x=0 \] \[ \tan x=\frac13 \] \[ \boxed{x=\arctan\frac13+\pi k} \]

9.

\[ \sin2x=\cos x=0. \] Из \(\cos x=0\): \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k} \] При этих значениях \(\sin2x=0\), поэтому это полный ответ.

10.

Левая часть: \[ \frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x =\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right). \] Тогда \[ \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos3x. \]

1. \(x+\frac{\pi}{6}=3x+2\pi k\): \[ x=\frac{\pi}{12}+\pi k. \]

2. \(x+\frac{\pi}{6}=-3x+2\pi k\): \[ x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}. \]

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\pi k\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}} \]

11.

\[ (2\cos x-1)\sqrt{-\sin x}=0. \] Область определения: \[ \sin x\le 0. \]

1. \(2\cos x-1=0\), то есть \(\cos x=\frac12\). С учётом \(\sin x\le0\): \[ x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k. \]

2. \(\sqrt{-\sin x}=0\): \[ \sin x=0\Rightarrow x=\pi k. \]

\[ \boxed{x=\pi k\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k} \]

12.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \[ 2\sin x-\sqrt2=0 \] \[ \sin x=\frac{\sqrt2}{2}. \] Получаем \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\).

Но при \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\) знаменатель равен нулю. Поэтому: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+2\pi k} \]

13.

Используем \[ \sin^2a=\frac{1-\cos2a}{2}. \] После преобразования: \[ \cos2x+\cos4x+\cos6x+\cos8x=0. \] Группируем: \[ 2\cos5x\cos3x+2\cos5x\cos x=0, \] \[ 4\cos5x\cos2x\cos x=0. \] Отсюда: \[ \cos5x=0\quad\text{или}\quad\cos2x=0 \] (случай \(\cos x=0\) уже входит в первый).

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5} \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}} \]

14.

Пусть \(t=\sin x\), тогда \(\cos^2x=1-t^2\): \[ t^3+(1-t^2)^2=1 \] \[ t^4+t^3-2t^2=0 \] \[ t^2(t+2)(t-1)=0. \] Так как \(-2\) не является значением синуса: \[ \sin x=0\quad\text{или}\quad\sin x=1. \] \[ \boxed{x=\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k} \]

15.

\[ \cos2x+\cos7x=2. \] Обе косинусоиды не превосходят \(1\), поэтому обе должны быть равны \(1\): \[ \cos2x=1,\qquad \cos7x=1. \] Их общие решения: \[ \boxed{x=2\pi k} \]

Это продолжение текущей учебной цели: на изображении тот же тип заданий по тригонометрическим уравнениям, только вариант 2. Решаем все задания. Во всех ответах \(k\in\mathbb Z\).

1.

\[ \sin 3x=\frac12 \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}} \]

2.

\[ \cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt3}{2} \] \[ \boxed{x=\frac{5\pi}{3}+4\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{7\pi}{3}+4\pi k} \]

3.

\[ \operatorname{ctg}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt3 \] \[ x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+\pi k \] \[ \boxed{x=\frac{5\pi}{12}+\pi k} \]

4.

Пусть \(t=\cos x\): \[ 2t^2-t-1=0 \] \[ (t-1)(2t+1)=0. \] Тогда \[ \boxed{x=2\pi k,\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k} \]

5.

Пусть \(t=\tan x\), тогда \(\cot x=\frac1t\): \[ 3t-\frac2t=1 \] \[ 3t^2-t-2=0 \] \[ (3t+2)(t-1)=0. \] Следовательно, \[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\pi k \quad\text{или}\quad x=-\arctan\frac23+\pi k} \]

6.

Пусть \(t=\sin\frac{x}{3}\). Тогда \[ \cos\frac{2x}{3}=1-2t^2. \] Получаем: \[ 1-2t^2+5t+2=0, \] \[ 2t^2-5t-3=0, \] \[ (2t+1)(t-3)=0. \] Значение \(t=3\) невозможно, поэтому \[ \sin\frac{x}{3}=-\frac12. \] \[ \boxed{x=-\frac{\pi}{2}+6\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{7\pi}{2}+6\pi k} \]

7.

Пусть \(t=\cos x\): \[ 2t^2-1-4\sqrt2t+4=0, \] \[ 2t^2-4\sqrt2t+3=0. \] Корни: \[ t=\frac{\sqrt2}{2},\qquad t=\frac{3\sqrt2}{2}. \] Второй корень невозможен: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k} \]

8.

\[ 3\cos x+\sin x=0 \] \[ \tan x=-3. \] \[ \boxed{x=-\arctan 3+\pi k} \]

9.

\[ \sin2x+\sin x=0 \] \[ \sin x(2\cos x+1)=0. \] Отсюда \[ \boxed{x=\pi k,\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k} \]

10.

Левая часть: \[ \frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x =\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right). \] Тогда \[ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin3x. \]

Получаем: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}} \]

11.

\[ (2\sin x+1)\sqrt{-\cos x}=0. \]

ОДЗ: \[ \cos x\le 0. \]

1. \(2\sin x+1=0\), откуда с учётом ОДЗ: \[ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k. \]

2. \(\sqrt{-\cos x}=0\): \[ \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \]

Ответ: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k} \]

12.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \[ 2\cos x+\sqrt2=0 \] \[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}. \] Подходит только значение, при котором знаменатель не равен нулю: \[ \boxed{x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k} \]

13.

Используем формулу \[ \sin^2a=\frac{1-\cos2a}{2}. \] После преобразований: \[ \cos4x+\cos6x-\cos2x-\cos8x=0. \] Группируем: \[ 2\cos5x(\cos x-\cos3x)=0. \]

Отсюда: \[ \cos5x=0 \quad\text{или}\quad \cos x=\cos3x. \]

Ответ: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5} \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi k}{2}} \]

14.

Пусть \(t=\cos x\). Так как \(\sin^2x=1-t^2\), имеем: \[ t^3+(1-t^2)^2=1. \] \[ t^4+t^3-2t^2=0, \] \[ t^2(t+2)(t-1)=0. \] Допустимы \(t=0\) и \(t=1\): \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad\text{или}\quad x=2\pi k} \]

15.

\[ \cos2x+\cos5x=-2. \] Обе величины не меньше \(-1\), поэтому необходимо: \[ \cos2x=-1,\qquad \cos5x=-1. \] Но из \(\cos2x=-1\) следует \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k, \] и тогда \[ \cos5x=0\ne-1. \] Следовательно, \[ \boxed{\text{решений нет}} \]

Распишу вариант 2. Во всех ответах \(k\in\mathbb Z\).

1.

\[ \sin 3x=\frac12 \]

Для синуса: \[ 3x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad 3x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k. \]

Делим на \(3\): \[ \boxed{x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}} \]

---

2.

\[ \cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt3}{2} \]

\[ \frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad \frac{x}{2}=\frac{7\pi}{6}+2\pi k. \]

Умножаем на \(2\): \[ \boxed{x=\frac{5\pi}{3}+4\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{7\pi}{3}+4\pi k} \]

---

3.

\[ \operatorname{ctg}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt3 \]

Так как \[ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}=\sqrt3, \] то \[ x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+\pi k. \]

Следовательно, \[ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}+\pi k \] \[ \boxed{x=\frac{5\pi}{12}+\pi k} \]

---

4.

\[ 2\cos^2x-\cos x-1=0 \]

Пусть \[ t=\cos x. \] Тогда \[ 2t^2-t-1=0, \] \[ (t-1)(2t+1)=0. \]

Отсюда: \[ t=1\quad\text{или}\quad t=-\frac12. \]

1. \(\cos x=1\): \[ x=2\pi k. \]

2. \(\cos x=-\frac12\): \[ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k. \]

Ответ: \[ \boxed{x=2\pi k,\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k} \]

---

5.

\[ 3\tan x-2\operatorname{ctg}x=1 \]

Пусть \[ t=\tan x,\qquad \operatorname{ctg}x=\frac1t. \]

Тогда \[ 3t-\frac2t=1. \]

Умножаем на \(t\): \[ 3t^2-2=t, \] \[ 3t^2-t-2=0, \] \[ (3t+2)(t-1)=0. \]

Получаем: \[ t=1\quad\text{или}\quad t=-\frac23. \]

Следовательно, \[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\pi k \quad\text{или}\quad x=-\arctan\frac23+\pi k} \]

---

6.

\[ \cos\frac{2x}{3}+5\sin\frac{x}{3}+2=0 \]

Пусть \[ t=\sin\frac{x}{3}. \]

Используем формулу: \[ \cos\frac{2x}{3}=1-2\sin^2\frac{x}{3}=1-2t^2. \]

Тогда \[ 1-2t^2+5t+2=0, \] \[ 2t^2-5t-3=0, \] \[ (2t+1)(t-3)=0. \]

Корень \(t=3\) невозможен, поэтому \[ \sin\frac{x}{3}=-\frac12. \]

Отсюда: \[ \frac{x}{3}=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad \frac{x}{3}=\frac{7\pi}{6}+2\pi k. \]

Умножаем на \(3\): \[ \boxed{x=-\frac{\pi}{2}+6\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{7\pi}{2}+6\pi k} \]

---

7.

\[ \cos 2x-4\sqrt2\cos x+4=0 \]

Пусть \[ t=\cos x. \]

Так как \[ \cos2x=2\cos^2x-1, \] получаем: \[ 2t^2-1-4\sqrt2t+4=0, \] \[ 2t^2-4\sqrt2t+3=0. \]

Находим корни: \[ t=\frac{4\sqrt2\pm\sqrt8}{4} =\frac{4\sqrt2\pm2\sqrt2}{4}. \]

\[ t=\frac{\sqrt2}{2} \quad\text{или}\quad t=\frac{3\sqrt2}{2}. \]

Второй корень невозможен, так как \(|\cos x|\le1\). Поэтому: \[ \cos x=\frac{\sqrt2}{2}. \]

Ответ: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k} \]

---

8.

\[ 3\cos x+\sin x=0 \]

Здесь \(\cos x\ne0\), поэтому делим на \(\cos x\): \[ 3+\tan x=0. \]

\[ \tan x=-3. \]

Следовательно, \[ \boxed{x=-\arctan3+\pi k} \]

---

9.

\[ \sin2x+\sin x=0 \]

Используем формулу: \[ \sin2x=2\sin x\cos x. \]

Тогда \[ 2\sin x\cos x+\sin x=0, \] \[ \sin x(2\cos x+1)=0. \]

1. \(\sin x=0\): \[ x=\pi k. \]

2. \(2\cos x+1=0\): \[ \cos x=-\frac12, \] \[ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k. \]

Ответ: \[ \boxed{x=\pi k,\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k} \]

---

10.

\[ \frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x=\sin3x \]

Левую часть представим как синус суммы: \[ \frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x =\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right). \]

Получаем: \[ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin3x. \]

Для равенства синусов:

1-й случай: \[ x+\frac{\pi}{6}=3x+2\pi k. \]

\[ x=\frac{\pi}{12}+\pi k. \]

2-й случай: \[ x+\frac{\pi}{6}=\pi-3x+2\pi k. \]

\[ 4x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, \] \[ x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}. \]

Ответ: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}} \]

---

11.

\[ (2\sin x+1)\sqrt{-\cos x}=0 \]

Сначала ОДЗ: \[ -\cos x\ge0, \] \[ \cos x\le0. \]

Произведение равно нулю, если:

1) \(2\sin x+1=0\)

\[ \sin x=-\frac12. \]

Возможны: \[ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k. \]

Условию \(\cos x\le0\) удовлетворяет только первый вариант: \[ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k. \]

2) \(\sqrt{-\cos x}=0\)

\[ \cos x=0, \] \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \]

Ответ: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k} \]

---

12.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\[ 2\cos x+\sqrt2=0. \]

\[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}. \]

Отсюда: \[ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k. \]

При \[ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \] знаменатель исходной дроби обращается в ноль, поэтому этот вариант исключается.

Остаётся: \[ \boxed{x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k} \]

---

13.

После применения формулы \[ \sin^2a=\frac{1-\cos2a}{2} \] получаем: \[ \cos4x+\cos6x-\cos2x-\cos8x=0. \]

Группируем: \[ (\cos4x+\cos6x)-(\cos2x+\cos8x)=0. \]

Используем формулу \[ \cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}. \]

\[ \cos4x+\cos6x=2\cos5x\cos x, \] \[ \cos2x+\cos8x=2\cos5x\cos3x. \]

Тогда: \[ 2\cos5x\cos x-2\cos5x\cos3x=0, \] \[ 2\cos5x(\cos x-\cos3x)=0. \]

Отсюда:

1) \(\cos5x=0\)

\[ 5x=\frac{\pi}{2}+\pi k, \] \[ x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}. \]

2) \(\cos x=\cos3x\)

\[ x=3x+2\pi k \quad\text{или}\quad x=-3x+2\pi k. \]

Получаем: \[ x=\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi k}{2}. \]

Первый вариант входит во второй, поэтому: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5} \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi k}{2}} \]

---

14.

\[ \cos^3x+\sin^4x=1 \]

Пусть \[ t=\cos x. \]

Так как \[ \sin^2x=1-\cos^2x=1-t^2, \] то \[ \sin^4x=(1-t^2)^2. \]

Получаем: \[ t^3+(1-t^2)^2=1, \] \[ t^3+1-2t^2+t^4=1, \] \[ t^4+t^3-2t^2=0, \] \[ t^2(t^2+t-2)=0, \] \[ t^2(t+2)(t-1)=0. \]

Корни: \[ t=0,\quad t=-2,\quad t=1. \]

Корень \(t=-2\) невозможен.

1. \(\cos x=0\): \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \]

2. \(\cos x=1\): \[ x=2\pi k. \]

Ответ: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad\text{или}\quad x=2\pi k} \]

---

15.

\[ \cos2x+\cos5x=-2 \]

Так как \[ \cos2x\ge-1,\qquad \cos5x\ge-1, \] сумма может быть равна \(-2\) только тогда, когда \[ \cos2x=-1 \quad\text{и}\quad \cos5x=-1. \]

Из первого условия: \[ 2x=\pi+2\pi k, \] \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \]

Проверим второе: \[ \cos5x=\cos\left(\frac{5\pi}{2}+5\pi k\right)=0, \] а не \(-1\).

Следовательно, общих решений нет: \[ \boxed{\text{решений нет}} \]

Это продолжение текущей учебной цели, а не новое задание: на изображении вариант 2 с теми же 15 тригонометрическими уравнениями, которые мы уже разбирали.