научи решать уравнения с дробями
Краткий ответ: чтобы решить уравнение с дробями, нужно:
- Найти ОДЗ — значения, при которых знаменатели не равны нулю.
- Найти общий знаменатель.
- Умножить всё уравнение на общий знаменатель.
- Решить получившееся уравнение без дробей.
- Проверить ответ по ОДЗ и подстановкой.
1. Если знаменатели — числа
Решим:
\[ \frac{x}{3}+\frac{5}{6}=\frac{7}{4} \]
Общий знаменатель для \(3,6,4\) — \(12\). Умножаем каждое слагаемое на \(12\):
\[ 12\cdot\frac{x}{3}+12\cdot\frac{5}{6} =12\cdot\frac{7}{4} \]
Сокращаем:
\[ 4x+10=21 \]
\[ 4x=11 \]
\[ x=\frac{11}{4} \]
Проверка:
\[ \frac{11/4}{3}+\frac{5}{6} =\frac{11}{12}+\frac{10}{12} =\frac{21}{12} =\frac{7}{4} \]
Ответ:
\[ \boxed{x=\frac{11}{4}} \]
2. Если переменная находится в знаменателе
Решим:
\[ \frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+2} \]
Шаг 1. Записываем ОДЗ
Знаменатели не должны быть равны нулю:
\[ x-1\ne0 \Rightarrow x\ne1 \]
\[ x+2\ne0 \Rightarrow x\ne-2 \]
ОДЗ:
\[ x\ne1,\quad x\ne-2 \]
Шаг 2. Умножаем крест-накрест
\[ 2(x+2)=3(x-1) \]
Раскрываем скобки:
\[ 2x+4=3x-3 \]
\[ x=7 \]
Число \(7\) не нарушает ОДЗ, значит:
\[ \boxed{x=7} \]
Проверка:
\[ \frac{2}{7-1}=\frac{2}{6}=\frac13, \qquad \frac{3}{7+2}=\frac{3}{9}=\frac13 \]
Главное правило
Если в уравнении есть дроби с переменной в знаменателе:
\[ \frac{A}{B}+\frac{C}{D}=E, \]
то сначала нужно исключить значения, при которых
\[ B=0 \quad \text{или} \quad D=0. \]
Только после этого можно умножать уравнение на общий знаменатель. Полученные корни обязательно проверяют: при подстановке знаменатель не должен обращаться в ноль.
Не забывай: нельзя просто «сокращать» слагаемые. Сокращают только множители в произведении:
\[ \frac{3x}{3}=x, \]
но
\[ \frac{x+3}{3} \]
сократить нельзя.
