реши всё

Краткие ответы

1. \(\boxed{x=8\sqrt2,\quad y=4(\sqrt6+\sqrt2)}\)

2. \(\boxed{x=26\sin50^\circ\approx19{,}92,\quad y=26\sin100^\circ\approx25{,}61}\)

3. \(\boxed{x=\dfrac{20\sqrt6}{3}\approx16{,}33,\quad y=\dfrac{10(\sqrt6+\sqrt2)}{\sqrt3}\approx22{,}31}\)

4. \(\boxed{x=6\sqrt2+2\sqrt6\approx13{,}38,\quad y=4\sqrt6\approx9{,}80}\)

5. \(\boxed{x=\sqrt2,\quad y=2\sqrt3-3}\)

6. \(\boxed{x=12(\sqrt3-1)\approx8{,}78,\quad y=12}\)

7. \(\boxed{x=\dfrac{16\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\approx10{,}44,\quad y=\dfrac{16\sin60^\circ}{\sin80^\circ}\approx14{,}07}\)

8. \(\boxed{x=10\sqrt2,\quad y=5(\sqrt6+\sqrt2)}\)

---

Решение

Используем теорему синусов:

\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}, \]

где сторона и угол находятся напротив друг друга.

1

\[ \angle N=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ. \]

Сторона \(MN=8\) лежит напротив угла \(30^\circ\):

\[ \frac{8}{\sin30^\circ} =\frac{x}{\sin45^\circ} =\frac{y}{\sin105^\circ}=16. \]

Тогда

\[ x=16\sin45^\circ=8\sqrt2, \]

\[ y=16\sin105^\circ =16\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} =4(\sqrt6+\sqrt2). \]

---

2

Угол \(80^\circ\) — внешний, поэтому

\[ \angle R=180^\circ-80^\circ=100^\circ. \]

Тогда

\[ \angle M=180^\circ-50^\circ-100^\circ=30^\circ. \]

\[ \frac{13}{\sin30^\circ} =\frac{x}{\sin50^\circ} =\frac{y}{\sin100^\circ}=26. \]

Следовательно,

\[ x=26\sin50^\circ\approx19{,}92, \]

\[ y=26\sin100^\circ\approx25{,}61. \]

---

3

\[ \angle K=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ. \]

Сторона \(MK=20\) напротив угла \(60^\circ\):

\[ \frac{20}{\sin60^\circ} =\frac{x}{\sin45^\circ} =\frac{y}{\sin75^\circ}. \]

\[ x=20\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ} =\frac{20\sqrt6}{3}. \]

\[ y=20\cdot\frac{\sin75^\circ}{\sin60^\circ} =\frac{10(\sqrt6+\sqrt2)}{\sqrt3}. \]

---

4

\[ \angle S=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ. \]

\[ \frac{12}{\sin60^\circ} =\frac{x}{\sin75^\circ} =\frac{y}{\sin45^\circ}. \]

\[ x=12\cdot\frac{\sin75^\circ}{\sin60^\circ} =6\sqrt2+2\sqrt6, \]

\[ y=12\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ} =4\sqrt6. \]

---

5

По рисунку \(\angle C=90^\circ\), а \(CD\) — биссектриса, поэтому

\[ \angle ACD=45^\circ. \]

В треугольнике \(ACD\):

\[ \angle ADC=180^\circ-15^\circ-45^\circ=120^\circ. \]

По теореме синусов:

\[ \frac{x}{\sin45^\circ} =\frac{\sqrt3}{\sin120^\circ}. \]

\[ x=\sqrt3\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin120^\circ} =\sqrt2. \]

Для стороны \(y=BC\) в треугольнике \(ABC\):

\[ \frac{y}{\sin15^\circ} =\frac{\sqrt3}{\sin75^\circ}. \]

\[ y=\sqrt3\cdot\frac{\sin15^\circ}{\sin75^\circ} =\sqrt3(2-\sqrt3) =2\sqrt3-3. \]

---

6

В треугольнике \(RST\):

\[ \angle T=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ. \]

Так как \(M,T,S\) лежат на одной прямой,

\[ \angle RTM=180^\circ-105^\circ=75^\circ. \]

В прямоугольном треугольнике \(RMT\):

\[ RT=\frac{6}{\sin75^\circ} =6(\sqrt6-\sqrt2). \]

Теперь применим теорему синусов в \(RST\):

\[ \frac{RT}{\sin30^\circ} =\frac{x}{\sin45^\circ} =\frac{y}{\sin105^\circ}. \]

\[ x=RT\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ} =12(\sqrt3-1), \]

\[ y=RT\cdot\frac{\sin105^\circ}{\sin30^\circ}=12. \]

---

7

Сумма частей отношения:

\[ 4+2+3=9. \]

Одна часть:

\[ 180^\circ:9=20^\circ. \]

Значит,

\[ \angle K=80^\circ,\qquad \angle L=40^\circ,\qquad \angle M=60^\circ. \]

Сторона \(LM=16\) лежит напротив угла \(K\):

\[ \frac{16}{\sin80^\circ} =\frac{x}{\sin40^\circ} =\frac{y}{\sin60^\circ}. \]

\[ x=\frac{16\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\approx10{,}44, \]

\[ y=\frac{16\sin60^\circ}{\sin80^\circ}\approx14{,}07. \]

---

8

Угол \(150^\circ\) внешний, поэтому внутренний угол при \(A\):

\[ \angle A=180^\circ-150^\circ=30^\circ. \]

\[ \angle C=180^\circ-30^\circ-105^\circ=45^\circ. \]

Так как \(BC=10\) и эта сторона напротив угла \(30^\circ\),

\[ \frac{10}{\sin30^\circ} =\frac{x}{\sin45^\circ} =\frac{y}{\sin105^\circ}=20. \]

\[ x=20\sin45^\circ=10\sqrt2, \]

\[ y=20\sin105^\circ =5(\sqrt6+\sqrt2). \]

Проверка, например для №8:

\[ \frac{10}{\sin30^\circ} =\frac{10\sqrt2}{\sin45^\circ} =\frac{5(\sqrt6+\sqrt2)}{\sin105^\circ} =20. \]