Убери сообщения "ну, по субботам ок можна АХАХАХА АХАХАХАХАХХА БЛЯЯЯЯ"

Определённый интеграл — краткий конспект

1. Определение

Разобьём отрезок \([a;b]\) на части длины \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\) и выберем в каждой части точку \(\xi_i\). Сумма

\[ \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i \]

называется интегральной суммой. Если при измельчении разбиения она стремится к одному и тому же пределу, этот предел — определённый интеграл:

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i\to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i. \]

Если \(f(x)\) непрерывна на \([a;b]\), интеграл существует.

2. Обозначения и смысл

• \(f(x)\) — подынтегральная функция;
• \(dx\) — дифференциал переменной интегрирования;
• \(a\) и \(b\) — нижний и верхний пределы интегрирования.

Геометрический смысл: при \(f(x)\ge 0\) интеграл равен площади фигуры под графиком:

\[ S=\int_a^b f(x)\,dx. \]

Если функция принимает отрицательные значения, интеграл выражает алгебраическую площадь: участки ниже оси \(Ox\) учитываются со знаком минус.

Физический смысл: работа переменной силы \(F(x)\) вдоль прямой:

\[ A=\int_a^b F(x)\,dx. \]

3. Основные свойства

\[ \int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx, \]

\[ \int_a^b (f(x)\pm g(x))\,dx =\int_a^b f(x)\,dx\pm\int_a^b g(x)\,dx, \]

\[ \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx, \]

\[ \int_a^b f(x)\,dx =\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx, \qquad \int_a^a f(x)\,dx=0. \]

Если \(f(x)\ge g(x)\) на \([a;b]\), то

\[ \int_a^b f(x)\,dx\ge\int_a^b g(x)\,dx. \]

4. Формула Ньютона—Лейбница

Если \(F'(x)=f(x)\), то

\[ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)}. \]

То есть чтобы вычислить определённый интеграл, находят первообразную и подставляют верхний предел минус нижний.

Также для непрерывной \(f\):

\[ \frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(t)\,dt\right)=f(x). \]