Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(AB=CD=8\text{ см}\), \(BC=AD=4\text{ см}\).
2. \(\angle A=\angle C=80^\circ\), \(\angle B=\angle D=100^\circ\).
3. Углы трапеции: \(90^\circ,\ 90^\circ,\ 128^\circ,\ 52^\circ\).
4. \(AC=BD=10\sqrt3\text{ см}\).
5. \(MNPK\) — параллелограмм.
6. \(\angle K=\angle N=140^\circ\), \(\angle M=\angle P=40^\circ\).

Чертежи схематичные, не в масштабе.

---

1. Параллелограмм

        A────────B
       /          /
      D────────C

Пусть \(BC=x\). Тогда по условию:

\[ AB=2x. \]

Периметр параллелограмма:

\[ 2(AB+BC)=24. \]

Подставим:

\[ 2(2x+x)=24, \]

\[ 6x=24,\qquad x=4. \]

Значит,

\[ BC=AD=4\text{ см}, \]

\[ AB=CD=2\cdot4=8\text{ см}. \]

Ответ: \(AB=CD=8\text{ см}\), \(BC=AD=4\text{ см}\).

Проверка:

\[ 2(8+4)=24\text{ см}. \]

---

2. Углы параллелограмма

        A────────B
       /          /
      D────────C

Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\):

\[ \angle A+\angle B=180^\circ. \]

По условию угол \(A\) меньше угла \(B\) на \(20^\circ\):

\[ \angle A=\angle B-20^\circ. \]

Пусть \(\angle B=x\). Тогда:

\[ (x-20^\circ)+x=180^\circ, \]

\[ 2x=200^\circ,\qquad x=100^\circ. \]

Следовательно,

\[ \angle B=\angle D=100^\circ, \]

\[ \angle A=\angle C=100^\circ-20^\circ=80^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{\angle A=\angle C=80^\circ,\quad \angle B=\angle D=100^\circ.} \]

---

3. Углы прямоугольной трапеции

A────────B
│         \
│          \
D───────────C

В прямоугольной трапеции два угла являются прямыми:

\[ \angle A=\angle D=90^\circ. \]

Два остальных угла — односторонние, поэтому их сумма равна \(180^\circ\).

Если один из них равен \(128^\circ\), то другой:

\[ 180^\circ-128^\circ=52^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{90^\circ,\ 90^\circ,\ 128^\circ,\ 52^\circ.} \]

---

4. Диагонали прямоугольника

D────────C
│\        │
│ \       │
│  \      │
A────────B

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADB\).

\[ \angle DAB=90^\circ,\qquad \angle ADB=30^\circ, \]

\[ AD=15\text{ см}. \]

Используем косинус:

\[ \cos30^\circ=\frac{AD}{BD}. \]

Тогда:

\[ BD=\frac{AD}{\cos30^\circ} =\frac{15}{\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{30}{\sqrt3} =10\sqrt3\text{ см}. \]

Диагонали прямоугольника равны:

\[ AC=BD. \]

Ответ:

\[ \boxed{AC=BD=10\sqrt3\text{ см}.} \]

Проверка через теорему Пифагора:

\[ AB=AD\tan30^\circ=15\cdot\frac1{\sqrt3}=5\sqrt3, \]

\[ BD^2=15^2+(5\sqrt3)^2=225+75=300, \]

\[ BD=10\sqrt3\text{ см}. \]

---

5. Доказательство, что \(MNPK\) — параллелограмм

M────────N
 \        \
  \        \
   K────────P

Рассмотрим две соседние стороны \(MN\) и \(NP\).

По условию:

\[ \angle M+\angle N=180^\circ, \]

\[ \angle N+\angle P=180^\circ. \]

1) Докажем, что \(MK\parallel NP\)

Углы \(M\) и \(N\) — внутренние односторонние углы при пересечении прямых \(MK\) и \(NP\) секущей \(MN\).

Так как их сумма равна \(180^\circ\), то

\[ MK\parallel NP. \]

2) Докажем, что \(MN\parallel KP\)

Углы \(N\) и \(P\) — внутренние односторонние углы при пересечении прямых \(MN\) и \(KP\) секущей \(NP\).

Так как их сумма равна \(180^\circ\), то

\[ MN\parallel KP. \]

В четырёхугольнике обе пары противоположных сторон параллельны. Следовательно,

\[ \boxed{MNPK\text{ — параллелограмм}.} \]

---

6. Углы ромба

                 N
               / │ \
              /  │  \
             M───E───P
              \  │  /
               \ │ /
                 K

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому:

\[ \angle PEK=90^\circ. \]

Угол \(K\) — тупой. Диагональ \(KN\) делит его пополам, значит:

\[ \angle PKE=\frac12\angle K>45^\circ. \]

Следовательно, угол \(PKE\) не может быть равен \(20^\circ\). Значит,

\[ \angle KPE=20^\circ. \]

В треугольнике \(PKE\):

\[ \angle PKE=180^\circ-90^\circ-20^\circ=70^\circ. \]

Диагональ \(KN\) делит угол \(K\) пополам:

\[ \angle K=2\cdot70^\circ=140^\circ. \]

Диагональ \(MP\) делит угол \(P\) пополам:

\[ \angle P=2\cdot20^\circ=40^\circ. \]

В ромбе противоположные углы равны:

\[ \angle M=\angle P=40^\circ, \]

\[ \angle N=\angle K=140^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{\angle K=\angle N=140^\circ,\qquad \angle M=\angle P=40^\circ.} \]