13.23
Краткий ответ:
а) \(x=0;\ 1\);
б) \(x=1\);
в) \(x=4\);
г) \(x=0\).
Решение графически
Корни уравнения — это абсциссы \(x\) точек пересечения графиков.
а) \(\sqrt{x}=x\)
Рассмотрим графики \(y=\sqrt{x}\) и \(y=x\). Они пересекаются в точках:
\[ (0;0),\qquad (1;1). \]
Следовательно,
\[ \boxed{x=0;\ 1}. \]
б) \(-\sqrt{x}=x-2\)
Рассмотрим графики \(y=-\sqrt{x}\) и \(y=x-2\). Они пересекаются в точке
\[ (1;-1). \]
Значит,
\[ \boxed{x=1}. \]
Проверка:
\[ -\sqrt{1}=-1,\qquad 1-2=-1. \]
в) \(\sqrt{x}=2\)
График \(y=\sqrt{x}\) пересекает прямую \(y=2\) в точке
\[ (4;2), \]
так как
\[ \sqrt{4}=2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=4}. \]
г) \(\sqrt{x}=-x^2\)
При \(x\ge 0\):
\[ \sqrt{x}\ge 0,\qquad -x^2\le 0. \]
Эти значения могут быть равны только тогда, когда оба равны нулю:
\[ x=0. \]
Графики пересекаются в точке \((0;0)\). Поэтому
\[ \boxed{x=0}. \]
Обсуждение
2 сообщенияСгенерируй графики
Вот код, который построит все четыре графика и отметит точки пересечения:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 9))
# а) y = √x и y = x
x = np.linspace(0, 2, 500)
ax = axes[0, 0]
ax.plot(x, np.sqrt(x), label=r'$y=\sqrt{x}$', linewidth=2)
ax.plot(x, x, label=r'$y=x$', linewidth=2)
ax.scatter([0, 1], [0, 1], color='red', zorder=5)
ax.set_title(r'а) $\sqrt{x}=x$')
ax.set_xlim(-0.2, 2)
ax.set_ylim(-0.2, 2)
ax.grid(True)
ax.legend()
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.7)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.7)
# б) y = -√x и y = x - 2
x = np.linspace(0, 4, 500)
ax = axes[0, 1]
ax.plot(x, -np.sqrt(x), label=r'$y=-\sqrt{x}$', linewidth=2)
ax.plot(x, x - 2, label=r'$y=x-2$', linewidth=2)
ax.scatter([1], [-1], color='red', zorder=5)
ax.set_title(r'б) $-\sqrt{x}=x-2$')
ax.set_xlim(-0.2, 4)
ax.set_ylim(-3, 3)
ax.grid(True)
ax.legend()
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.7)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.7)
# в) y = √x и y = 2
x = np.linspace(0, 6, 500)
ax = axes[1, 0]
ax.plot(x, np.sqrt(x), label=r'$y=\sqrt{x}$', linewidth=2)
ax.axhline(2, color='orange', label=r'$y=2$', linewidth=2)
ax.scatter([4], [2], color='red', zorder=5)
ax.set_title(r'в) $\sqrt{x}=2$')
ax.set_xlim(-0.2, 6)
ax.set_ylim(-0.2, 3)
ax.grid(True)
ax.legend()
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.7)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.7)
# г) y = √x и y = -x²
x = np.linspace(0, 2, 500)
ax = axes[1, 1]
ax.plot(x, np.sqrt(x), label=r'$y=\sqrt{x}$', linewidth=2)
ax.plot(x, -x**2, label=r'$y=-x^2$', linewidth=2)
ax.scatter([0], [0], color='red', zorder=5)
ax.set_title(r'г) $\sqrt{x}=-x^2$')
ax.set_xlim(-0.2, 2)
ax.set_ylim(-4, 2)
ax.grid(True)
ax.legend()
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.7)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.7)
plt.tight_layout()
plt.show()
Красные точки показывают решения:
\[ \text{а) } x=0,\ 1;\qquad \text{б) } x=1;\qquad \text{в) } x=4;\qquad \text{г) } x=0. \]
