13.23 реши и сгенерируй графики
Краткий ответ
а) \(x=0;\ 1\)
б) \(x=1\)
в) \(x=4\)
г) \(x=0\)
Как решать графически
Чтобы решить уравнение графически, строим графики функций из его левой и правой частей. Абсциссы точек пересечения — это решения уравнения.
Для построения можно использовать эти выражения:
- а) \(y=\sqrt{x}\) и \(y=x\);
- б) \(y=-\sqrt{x}\) и \(y=x-2\);
- в) \(y=\sqrt{x}\) и \(y=2\);
- г) \(y=\sqrt{x}\) и \(y=-x^2\).
Во всех случаях, где есть \(\sqrt{x}\), учитываем область определения: \(x\ge 0\).
а) \(\sqrt{x}=x\)
Точки для графиков:
\[ y=\sqrt{x}:\quad (0;0),\ (1;1),\ (4;2),\ (9;3); \]
\[ y=x:\quad (0;0),\ (1;1),\ (2;2),\ (3;3). \]
Графики пересекаются в точках \((0;0)\) и \((1;1)\).
\[ \boxed{x=0;\ 1} \]
Проверка:
\[ \sqrt{0}=0,\qquad \sqrt{1}=1. \]
б) \(-\sqrt{x}=x-2\)
Точки для построения:
\[ y=-\sqrt{x}:\quad (0;0),\ (1;-1),\ (4;-2),\ (9;-3); \]
\[ y=x-2:\quad (0;-2),\ (1;-1),\ (2;0),\ (3;1). \]
Единственная точка пересечения — \((1;-1)\).
\[ \boxed{x=1} \]
Проверка:
\[ -\sqrt{1}=-1,\qquad 1-2=-1. \]
в) \(\sqrt{x}=2\)
Строим графики \(y=\sqrt{x}\) и горизонтальную прямую \(y=2\).
У графика \(y=\sqrt{x}\) значение \(y=2\) достигается при \(x=4\):
\[ \sqrt{4}=2. \]
Точка пересечения: \((4;2)\).
\[ \boxed{x=4} \]
г) \(\sqrt{x}=-x^2\)
Строим графики:
\[ y=\sqrt{x},\qquad y=-x^2. \]
При \(x\ge0\):
\[ \sqrt{x}\ge0,\qquad -x^2\le0. \]
Эти значения могут быть равны только в начале координат:
\[ (0;0). \]
\[ \boxed{x=0} \]
Проверка:
\[ \sqrt{0}=0,\qquad -0^2=0. \]
