Реши задание на изображении
Краткий ответ
1. Разложение на множители:
а) \(2x^2-8=2(x-2)(x+2)\);
б) \(18-2y^2=2(3-y)(3+y)\);
в) \(kt^2-k=k(t-1)(t+1)\);
г) \(3c^2-3x^2=3(c-x)(c+x)\).
2. Разложение на множители:
а) \(2u^3-2v^3=2(u-v)(u^2+uv+v^2)\);
б) \(3z^3+3w^3=3(z+w)(z^2-zw+w^2)\);
в) \(nx^3+nz^3=n(x+z)(x^2-xz+z^2)\);
г) \(w^4-w=w(w-1)(w^2+w+1)\);
д) \(z^4+8z=z(z+2)(z^2-2z+4)\);
е) \(x^4-16z^4=(x-2z)(x+2z)(x^2+4z^2)\).
Ключевые шаги
Сначала выносим общий множитель за скобки: \[ 2x^2-8=2(x^2-4). \]
Используем разность квадратов: \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \] Например: \[ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2). \]
Для кубов применяем формулы: \[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2), \] \[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). \]
Например: \[ 2u^3-2v^3=2(u^3-v^3) =2(u-v)(u^2+uv+v^2). \]
В выражении \(w^4-w\) сначала выносим \(w\): \[ w^4-w=w(w^3-1) =w(w-1)(w^2+w+1). \]
В последнем примере дважды применяем разность квадратов: \[ x^4-16z^4=(x^2)^2-(4z^2)^2 \] \[ =(x^2-4z^2)(x^2+4z^2) =(x-2z)(x+2z)(x^2+4z^2). \]
Проверка выполняется обратным раскрытием скобок: например, \[ (x-2z)(x+2z)=x^2-4z^2, \] поэтому произведение даёт \(x^4-16z^4\).
Обсуждение
4 сообщенияЯ не понял я тупой 😭😭
Ты не тупой — я объяснил слишком быстро. Давай разберём только один пример:
\[ 2x^2-8 \]
Шаг 1. В обоих слагаемых есть число \(2\), выносим его:
\[ 2x^2-8=2(x^2-4). \]
Шаг 2. Число \(4=2^2\), поэтому:
\[ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2). \]
Ответ:
\[ \boxed{2x^2-8=2(x-2)(x+2)}. \]
Главное правило здесь: сначала ищем общий множитель, потом применяем формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
Объясни подробнее формулы суммы и разности кубов
Конечно. Это нормально, формулы сначала кажутся похожими. Разберём их по шагам.
1. Разность кубов
Если выражение имеет вид:
\[ a^3-b^3, \]
то используется формула:
\[ \boxed{a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}. \]
Как запомнить знаки
\[ \text{разность кубов}: \quad (a-b)(a^2+\;ab+b^2) \]
- в первой скобке знак минус;
- во второй скобке все знаки плюс.
Почему формула верна?
Раскроем скобки:
\[ (a-b)(a^2+ab+b^2) \]
\[ =a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3. \]
Средние слагаемые уничтожаются:
\[ +a^2b-a^2b=0,\qquad +ab^2-ab^2=0. \]
Остаётся:
\[ a^3-b^3. \]
2. Сумма кубов
Если выражение имеет вид:
\[ a^3+b^3, \]
то используется формула:
\[ \boxed{a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}. \]
Как запомнить знаки
\[ \text{сумма кубов}: \quad (a+b)(a^2-\;ab+b^2) \]
- в первой скобке знак плюс;
- во второй скобке средний знак минус;
- последний знак всегда плюс.
Проверка:
\[ (a+b)(a^2-ab+b^2) \]
\[ =a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3. \]
Удобная общая схема
\[ \boxed{a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)} \]
То есть:
- знак между кубами повторяется в первой скобке;
- в середине второй скобки знак меняется;
- последний знак всегда \(+\).
Пример 1: разность кубов
\[ u^3-v^3 \]
Здесь \(a=u\), \(b=v\). Применяем формулу:
\[ u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2). \]
Если перед выражением есть общий множитель:
\[ 2u^3-2v^3. \]
Сначала выносим \(2\):
\[ 2u^3-2v^3=2(u^3-v^3). \]
Теперь раскладываем разность кубов:
\[ \boxed{2u^3-2v^3=2(u-v)(u^2+uv+v^2)}. \]
Пример 2: сумма кубов
\[ z^3+w^3 \]
Используем формулу суммы кубов:
\[ z^3+w^3=(z+w)(z^2-zw+w^2). \]
Если есть общий множитель:
\[ 3z^3+3w^3=3(z^3+w^3), \]
поэтому:
\[ \boxed{3z^3+3w^3=3(z+w)(z^2-zw+w^2)}. \]
Как понять, что перед нами кубы?
Нужно узнать числа и выражения:
\[ 8=2^3,\qquad 27=3^3,\qquad x^3=(x)^3, \]
\[ 8x^3=(2x)^3,\qquad 27y^3=(3y)^3. \]
Пример
\[ 8x^3-27y^3. \]
Представим слагаемые как кубы:
\[ 8x^3=(2x)^3,\qquad 27y^3=(3y)^3. \]
Получаем:
\[ (2x)^3-(3y)^3. \]
По формуле разности кубов:
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). \]
Значит:
\[ \boxed{8x^3-27y^3=(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)}. \]
Главное, что нужно запомнить
\[ \boxed{a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)} \]
\[ \boxed{a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)} \]
Разность: все знаки во второй скобке «плюс».
Сумма: во второй скобке знаки \( -,+\).
