реши с объяснением чтобы я поняла эту ебаную алгебру
Краткие ответы
- \(x=-\dfrac92\).
- \(x_1=\dfrac13,\ x_2=-2\).
- \(x=\pm2,\ \pm3\).
- \(x=\dfrac{17}{7}\).
- \(x=-4,\ -3,\ 1,\ 2\).
- Скорости автомобилей: 60 км/ч и 80 км/ч.
1. Линейное уравнение
\[ 5(x+2)-3(2x-1)=4-3x \]
Раскрываем скобки:
\[ 5x+10-6x+3=4-3x \]
Приводим подобные:
\[ -x+13=4-3x \]
Переносим слагаемые с \(x\) влево:
\[ 2x+13=4 \]
\[ 2x=-9 \]
\[ \boxed{x=-\frac92} \]
Принцип: сначала раскрываем скобки, затем складываем подобные слагаемые, после этого оставляем неизвестное с одной стороны.
Проверка:
\[ 5\left(-\frac92+2\right)-3\left(2\cdot-\frac92-1\right)=\frac{35}{2}, \]
\[ 4-3\cdot\left(-\frac92\right)=\frac{35}{2}. \]
Равенство верно.
2. Квадратное уравнение
\[ 3x^2+5x-2=0 \]
Разложим на множители:
\[ 3x^2+5x-2=(3x-1)(x+2) \]
Тогда:
\[ (3x-1)(x+2)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ 3x-1=0 \quad \text{или} \quad x+2=0 \]
\[ x_1=\frac13,\qquad x_2=-2 \]
\[ \boxed{x_1=\frac13,\ x_2=-2} \]
Принцип: если \((a)(b)=0\), то \(a=0\) или \(b=0\).
3. Биквадратное уравнение
\[ x^4-13x^2+36=0 \]
Здесь встречаются \(x^4\) и \(x^2\). Сделаем замену:
\[ t=x^2 \]
Тогда \(x^4=t^2\), и получаем:
\[ t^2-13t+36=0 \]
Разложим:
\[ (t-4)(t-9)=0 \]
Отсюда:
\[ t=4 \quad \text{или} \quad t=9 \]
Возвращаемся к \(x\):
Если \(x^2=4\):
\[ x=\pm2 \]
Если \(x^2=9\):
\[ x=\pm3 \]
Ответ:
\[ \boxed{x=-3,\ -2,\ 2,\ 3} \]
Принцип: в биквадратном уравнении удобно обозначить \(x^2\) новой буквой.
4. Дробно-рациональное уравнение
\[ \frac{3}{x-2}+\frac{4}{x+2} = \frac{15}{x^2-4} \]
Сначала выпишем ОДЗ:
\[ x-2\ne0,\qquad x+2\ne0 \]
\[ x\ne2,\qquad x\ne-2 \]
Заметим:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Умножаем всё уравнение на \(x^2-4\):
\[ 3(x+2)+4(x-2)=15 \]
Раскрываем скобки:
\[ 3x+6+4x-8=15 \]
\[ 7x-2=15 \]
\[ 7x=17 \]
\[ \boxed{x=\frac{17}{7}} \]
Это число не равно \(2\) и \(-2\), поэтому оно подходит.
Принцип: в дробном уравнении сначала исключаем значения, при которых знаменатель равен нулю, затем умножаем на общий знаменатель.
5. Уравнение, сводящееся к квадратному
\[ (x^2+2x)^2-11(x^2+2x)+24=0 \]
Всё выражение \(x^2+2x\) повторяется. Сделаем замену:
\[ t=x^2+2x \]
Получаем:
\[ t^2-11t+24=0 \]
Разложим:
\[ (t-3)(t-8)=0 \]
Значит:
\[ t=3 \quad \text{или} \quad t=8 \]
1) \(t=3\)
\[ x^2+2x=3 \]
\[ x^2+2x-3=0 \]
\[ (x+3)(x-1)=0 \]
\[ x=-3 \quad \text{или} \quad x=1 \]
2) \(t=8\)
\[ x^2+2x=8 \]
\[ x^2+2x-8=0 \]
\[ (x+4)(x-2)=0 \]
\[ x=-4 \quad \text{или} \quad x=2 \]
Ответ:
\[ \boxed{x=-4,\ -3,\ 1,\ 2} \]
Принцип: если повторяется целое выражение, его можно временно заменить новой переменной.
6. Задача о скорости
Расстояние:
\[ S=240\text{ км} \]
Пусть скорость более медленного автомобиля равна \(v\) км/ч. Тогда скорость более быстрого:
\[ v+20 \]
Время движения вычисляется по формуле:
\[ t=\frac{S}{v} \]
Медленный автомобиль ехал на 1 час дольше:
\[ \frac{240}{v}-\frac{240}{v+20}=1 \]
Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{240(v+20)-240v}{v(v+20)}=1 \]
\[ \frac{4800}{v(v+20)}=1 \]
Значит:
\[ v(v+20)=4800 \]
\[ v^2+20v-4800=0 \]
Разложим:
\[ (v-60)(v+80)=0 \]
Получаем:
\[ v=60 \quad \text{или} \quad v=-80 \]
Отрицательная скорость невозможна, поэтому:
\[ v=60\text{ км/ч} \]
Скорость второго автомобиля:
\[ 60+20=80\text{ км/ч} \]
Проверка
\[ \frac{240}{60}=4\text{ ч},\qquad \frac{240}{80}=3\text{ ч} \]
Разница:
\[ 4-3=1\text{ ч} \]
Ответ:
\[ \boxed{60\text{ км/ч и }80\text{ км/ч}} \]
