Реши пожалуйста номер 533 дано найти решение

Краткий ответ:
\[ \boxed{BH=HM=MC}. \]

Доказательство

Пусть сторона квадрата равна \(a\), то есть \(AB=BC=a\).

1. Диагональ квадрата: \[ AC=a\sqrt2. \]

Так как \(AM=AB=a\), то \[ MC=AC-AM=a\sqrt2-a=a(\sqrt2-1). \]

2. Рассмотрим треугольник \(HMC\).

Так как \(HM\perp AC\), а \(MC\subset AC\), то \[ \angle HMC=90^\circ. \]

Диагональ \(AC\) образует с боковой стороной \(BC\) угол \(45^\circ\), поэтому \[ \angle HCM=45^\circ. \]

Следовательно, треугольник \(HMC\) — прямоугольный равнобедренный, значит: \[ HM=MC, \qquad HC=MC\sqrt2. \]

3. Найдём \(BH\): \[ BH=BC-HC=a-\sqrt2\cdot a(\sqrt2-1). \]

Упростим: \[ BH=a-a(2-\sqrt2)=a(\sqrt2-1). \]

Но \[ MC=a(\sqrt2-1), \] значит \[ BH=MC. \]

Так как \(HM=MC\), получаем: \[ \boxed{BH=HM=MC}. \]