Реши задание на изображении
Краткий ответ
При стандартном рассмотрении действительных корней:
- \(x=-1,\;-\dfrac73\)
- \(x=13\)
- \(x=-2,\;9\)
- \(x=-\dfrac32\)
- \(x=5\)
- \(x=-7,\;-2,\;7\)
- \(x=2\)
- \(x=3\)
Решение
1)
\[
6x^2+5x+2=3x^2-5x-5
\]
Перенесём всё в левую часть:
\[ 3x^2+10x+7=0 \]
Разложим на множители:
\[ (3x+7)(x+1)=0 \]
Отсюда:
\[ x=-\frac73 \quad \text{или} \quad x=-1. \]
2)
\[
\frac{x+7}{x-3}=2,\qquad x\ne3
\]
Умножим на \(x-3\):
\[ x+7=2(x-3) \]
\[ x+7=2x-6 \]
\[ x=13 \]
Проверка:
\[ \frac{13+7}{13-3}=\frac{20}{10}=2. \]
3)
\[
\frac{x-9}{2x+2}=\frac{x-9}{x}
\]
ОДЗ:
\[ x\ne-1,\qquad x\ne0. \]
Перемножим крест-накрест:
\[ x(x-9)=(2x+2)(x-9) \]
Вынесем общий множитель:
\[ (x-9)\bigl(x-(2x+2)\bigr)=0 \]
\[ (x-9)(-x-2)=0 \]
Поэтому:
\[ x=9 \quad \text{или} \quad x=-2. \]
Оба значения подходят по ОДЗ.
4)
\[
\frac{2x^2+x-3}{3x^2-2x-1}=0
\]
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\[ 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1) \]
\[ 3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1) \]
Числитель равен нулю при:
\[ x=-\frac32 \quad \text{или} \quad x=1. \]
Но \(x=1\) обнуляет знаменатель, поэтому его исключаем.
\[ \boxed{x=-\frac32} \]
5)
\[
x^3-5x^2+9x-45=0
\]
Сгруппируем слагаемые:
\[ x^2(x-5)+9(x-5)=0 \]
\[ (x-5)(x^2+9)=0 \]
В действительных числах \(x^2+9\ne0\), значит:
\[ \boxed{x=5} \]
6)
\[
x^3+2x^2-49x-98=0
\]
\[ x^2(x+2)-49(x+2)=0 \]
\[ (x+2)(x^2-49)=0 \]
\[ (x+2)(x-7)(x+7)=0 \]
Следовательно:
\[ \boxed{x=-2,\;-7,\;7} \]
7)
\[
2x^3-3x^2+5x-14=0
\]
Подберём корень: при \(x=2\)
\[ 2\cdot2^3-3\cdot2^2+5\cdot2-14=0. \]
Значит, \(x-2\) — множитель:
\[ 2x^3-3x^2+5x-14=(x-2)(2x^2+x+7) \]
Проверим квадратный множитель:
\[ D=1^2-4\cdot2\cdot7=1-56=-55<0. \]
Действительных корней у него нет, поэтому:
\[ \boxed{x=2} \]
8)
\[
4x^3-13x^2+5x-6=0
\]
Подберём корень: \(x=3\):
\[ 4\cdot3^3-13\cdot3^2+5\cdot3-6=0. \]
Разложение:
\[ 4x^3-13x^2+5x-6=(x-3)(4x^2-x+2) \]
Для квадратного множителя:
\[ D=(-1)^2-4\cdot4\cdot2=1-32=-31<0. \]
Значит, единственный действительный корень:
\[ \boxed{x=3} \]
Главные приёмы здесь: перенос всех членов в одну сторону, разложение на множители, учёт ОДЗ для дробей и проверка найденных корней.
Обсуждение
6 сообщенийЭто продолжение текущей учебной цели, а не новое задание: на изображении находятся пункты 7 и 8 из уже разобранных уравнений.
ты решил по теореме безу?
Не совсем. Я проверил подстановкой, что \(x=2\) и \(x=3\) — корни, а затем разложил многочлены. Это можно обосновать теоремой Безу: если \(P(a)=0\), то \(P(x)\) делится на \(x-a\).
\[ 2x^3-3x^2+5x-14=(x-2)(2x^2+x+7), \] поскольку \(P(2)=0\);
\[ 4x^3-13x^2+5x-6=(x-3)(4x^2-x+2), \] поскольку (P(3)=0. ]
То есть пункты 7 и 8 можно оформить именно по теореме Безу.
сделай 7 и 8 по теореме безу
7) \(P(x)=2x^3-3x^2+5x-14\).
Проверим \(x=2\):
\[ P(2)=2\cdot 2^3-3\cdot 2^2+5\cdot2-14=0. \]
По теореме Безу, если \(P(2)=0\), то многочлен делится на \(x-2\). Делим столбиком или схемой Горнера:
\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -3 & 5 & -14\\ & & 4 & 2 & 14\\ \hline & 2 & 1 & 7 & 0 \end{array} \]
Остаток равен нулю, частное — \(2x^2+x+7\). Поэтому
\[ 2x^3-3x^2+5x-14=(x-2)(2x^2+x+7). \]
У квадратного множителя дискриминант:
\[ D=1-4\cdot2\cdot7=-55<0. \]
Значит, действительный корень уравнения: \(\boxed{x=2}\).
8) \(P(x)=4x^3-13x^2+5x-6\).
Проверим \(x=3\):
\[ P(3)=4\cdot3^3-13\cdot3^2+5\cdot3-6=0. \]
По теореме Безу, \(P(x)\) делится на \(x-3\). Выполним деление по схеме Горнера:
\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 4 & -13 & 5 & -6\\ & & 12 & -3 & 6\\ \hline & 4 & -1 & 2 & 0 \end{array} \]
Остаток равен нулю, частное — \(4x^2-x+2\). Следовательно,
\[ 4x^3-13x^2+5x-6=(x-3)(4x^2-x+2). \]
Для квадратного множителя:
\[ D=(-1)^2-4\cdot4\cdot2=-31<0. \]
Значит, действительный корень уравнения: \(\boxed{x=3}\).
