912

Ответ:
а) \(k=2\); б) \(k=\frac12\); в) \(k=-\frac12\); г) \(k=1\); д) \(k=-1\); е) \(k=-\frac14\); ж) \(k=3\); з) \(k=\frac43\); и) такого числа \(k\) нет.

Почему:

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \[ \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}=\frac12\overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{BO}=\frac12\overrightarrow{BD}. \] Так как \(M\) — середина \(AO\), то \[ \overrightarrow{AM}=\frac14\overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{MC}=\frac34\overrightarrow{AC}. \]

Отсюда:

• а) \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}\), значит \(k=2\);
• б) \(\overrightarrow{BO}=\frac12\overrightarrow{BD}\), значит \(k=\frac12\);
• в) \(\overrightarrow{OC}=-\frac12\overrightarrow{CA}\), значит \(k=-\frac12\);
• г) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), значит \(k=1\);
• д) \(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}\), значит \(k=-1\);
• е) \(\overrightarrow{AM}=-\frac14\overrightarrow{CA}\), значит \(k=-\frac14\);
• ж) \(\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{AM}\), значит \(k=3\);
• з) \(\overrightarrow{AC}=\frac43\overrightarrow{CM}\), значит \(k=\frac43\).

В пункте и) векторы \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{BD}\) направлены вдоль разных диагоналей. Они не параллельны, поэтому один не может быть числовым множителем другого.