Изобразите тетраэдр DABC и постройке сечение этого тетраэдра плоскость проходящей через точку Mпараллельно плоскости грани ABC если точка M является середины ребра AD

Краткий ответ: сечение — треугольник \(MNK\), где

• \(M\) — середина ребра \(AD\);
• \(N\) — середина ребра \(DB\);
• \(K\) — середина ребра \(DC\).

Построение

1. Изобразите тетраэдр \(DABC\).
2. Отметьте точку \(M\) — середину \(AD\).
3. В грани \(DAB\) через \(M\) проведите \(MN\parallel AB\). Точка \(N\) лежит на \(DB\).
4. В грани \(DAC\) через \(M\) проведите \(MK\parallel AC\). Точка \(K\) лежит на \(DC\).
5. Соедините точки \(N\) и \(K\). Получится \(NK\parallel BC\).

Треугольник \(MNK\) и есть искомое сечение плоскостью, проходящей через \(M\) параллельно грани \(ABC\).

Почему \(N\) и \(K\) — середины

В треугольнике \(DAB\):

\[ M\in AD,\qquad MN\parallel AB. \]

По теореме о пропорциональных отрезках:

\[ \frac{DM}{DA}=\frac{DN}{DB}. \]

Так как \(M\) — середина \(AD\), то \(\frac{DM}{DA}=\frac12\). Значит,

\[ \frac{DN}{DB}=\frac12, \]

поэтому \(N\) — середина \(DB\). Аналогично \(K\) — середина \(DC\).

Проверка: \(MN\parallel AB\), \(MK\parallel AC\), \(NK\parallel BC\), значит плоскость \((MNK)\parallel(ABC)\).