Реши задание на изображении

Краткий ответ:

а) Точки \(M\), \(N_1\) и \(P_1\) лежат на одной прямой.
б) \(\boxed{PP_1=21\text{ см}}\).

а) Доказательство

Рассмотрим плоскость \(\beta\), проходящую через прямую \(PM\) и отрезок \(PP_1\).

Так как \(N\in PM\), а \(NN_1\parallel PP_1\), то прямая \(NN_1\) также лежит в плоскости \(\beta\). Значит, точки \(P_1\) и \(N_1\) принадлежат плоскости \(\beta\).

При этом \(M,N_1,P_1\) принадлежат и плоскости \(\alpha\). Следовательно, они лежат на линии пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Значит,

\[ M,\ N_1,\ P_1 \]

лежат на одной прямой.

б) Нахождение \(PP_1\)

В плоскости \(\beta\):

\[ PP_1\parallel NN_1. \]

Поэтому треугольники \(MPP_1\) и \(MNN_1\) подобны. Отсюда

\[ \frac{PP_1}{NN_1}=\frac{MP}{MN}. \]

По условию:

\[ MN:NP=2:1. \]

Пусть \(MN=2x\), \(NP=x\). Тогда

\[ MP=MN+NP=3x, \]

и

\[ \frac{MP}{MN}=\frac{3x}{2x}=\frac32. \]

Так как \(NN_1=14\) см, получаем:

\[ \frac{PP_1}{14}=\frac32, \]

\[ PP_1=14\cdot\frac32=21\text{ см}. \]

Проверка: \(21:14=3:2\), что соответствует отношению \(MP:MN=3:2\).