задача 257

Пусть \(x\) км/ч — скорость катера в стоячей воде.

Тогда:

• по течению скорость \(x+3\) км/ч;
• против течения скорость \(x-3\) км/ч.

По условию общее время — 6 часов:

\[ \frac{36}{x+3}+\frac{48}{x-3}=6. \]

Решим уравнение:

\[ 36(x-3)+48(x+3)=6(x+3)(x-3), \]

\[ 84x+36=6x^2-54, \]

\[ x^2-14x-15=0. \]

\[ x_1=15,\qquad x_2=-1. \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(x=15\).

Проверка:

\[ \frac{36}{15+3}+\frac{48}{15-3} =\frac{36}{18}+\frac{48}{12}=2+4=6. \]

Ответ: \(15\) км/ч.

Обозначим скорость катера в стоячей воде через \(x\) км/ч.

Направление движения	Скорость, км/ч	Расстояние, км	Время, ч
По течению	\(x+3\)	\(36\)	\(\dfrac{36}{x+3}\)
Против течения	\(x-3\)	\(48\)	\(\dfrac{48}{x-3}\)

Общее время движения — 6 часов:

\[ \frac{36}{x+3}+\frac{48}{x-3}=6. \]

Решим уравнение:

\[ 36(x-3)+48(x+3)=6(x+3)(x-3), \]

\[ 84x+36=6x^2-54, \]

\[ x^2-14x-15=0. \]

\[ x_1=15,\qquad x_2=-1. \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(x=15\).

Ответ: \(15\) км/ч.

Нет, здесь корни \(15\) и \(-1\):

\[ x^2-14x-15=(x-15)(x+1)=0. \]

Отсюда:

\[ x-15=0 \Rightarrow x=15, \]

\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1. \]

Корня \(1\) нет. Число \(-1\) не подходит, потому что скорость не может быть отрицательной. Поэтому ответ \(15\) км/ч.

Да, можно решить по дискриминанту. Для уравнения

\[ x^2-14x-15=0 \]

имеем:

\[ a=1,\quad b=-14,\quad c=-15. \]

Находим дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=(-14)^2-4\cdot1\cdot(-15) =196+60=256. \]

\[ \sqrt D=16. \]

Корни:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{14\pm16}{2}. \]

\[ x_1=\frac{14+16}{2}=15,\qquad x_2=\frac{14-16}{2}=-1. \]

Отрицательный корень не подходит, поэтому ответ: \(15\) км/ч.

§ 15. Закон всемирного тяготения

1. Всемирное тяготение

Между всеми телами во Вселенной действуют силы взаимного притяжения. Это явление называется всемирным тяготением, а силы — гравитационными.

Закон всемирного тяготения открыл Исаак Ньютон в 1687 году.

2. Закон всемирного тяготения

Два любых тела притягиваются друг к другу с силой, которая:

• прямо пропорциональна произведению масс тел;
• обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2} \]

где:

• \(F\) — сила гравитационного притяжения, Н;
• \(m_1\) и \(m_2\) — массы тел, кг;
• \(r\) — расстояние между центрами тел, м;
• \(G\) — гравитационная постоянная.

\[ G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2 \]

Гравитационная постоянная была измерена Генри Кавендишем в 1798 году.

3. От чего зависит сила притяжения

• Чем больше массы тел, тем больше сила притяжения.
• Чем больше расстояние между телами, тем меньше сила притяжения.
• При увеличении расстояния в 2 раза сила уменьшается в \(2^2=4\) раза.

4. Когда применяют формулу

Формула точно применяется:

1. если размеры тел очень малы по сравнению с расстоянием между ними;
2. если оба тела однородные и имеют шарообразную форму;
3. если одно тело — большой однородный шар, а второе тело значительно меньше него.

Для тела около поверхности Земли расстоянием до Земли считают радиус Земли.

5. Примеры проявления закона

Закон всемирного тяготения объясняет:

• падение тел на Землю;
• движение Луны вокруг Земли;
• движение планет вокруг Солнца;
• устойчивость Солнечной системы;
• приливы и отливы в океанах.

По третьему закону Ньютона яблоко притягивает Землю с такой же силой, с какой Земля притягивает яблоко. Однако ускорение Земли почти незаметно, потому что её масса намного больше массы яблока.

4. Когда применяют формулу

Формулу применяют для материальных точек и шарообразных тел. \(r\) — расстояние между их центрами.

5. Проявления закона

Закон объясняет падение тел, движение Луны и планет, а также приливы и отливы.

Вопросы

1. Всемирное тяготение — взаимное притяжение всех тел во Вселенной.
2. Их называют гравитационными силами.
3. Закон открыл Исаак Ньютон в XVII веке.
4. Сила притяжения прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния:

\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}. \]

5. Падение тел на Землю, движение планет и Луны, приливы и отливы.
6. Да, Земля притягивается к яблоку, но её движение незаметно из-за большой массы Земли.

Почему предметы в комнате не прилипают друг к другу?
Сила их притяжения очень мала, а движению мешают опора и трение.

Упражнение 15

1.

Расстояние уменьшили в 3 раза:

\[ F увеличится в 3^2=9\text{ раз}. \]

Ответ: увеличится в 9 раз.

2.

\[ m=50\text{ т}=5\cdot10^4\text{ кг},\quad r=1\text{ км}=10^3\text{ м}. \]

\[ F=G\frac{m^2}{r^2} =6{,}67\cdot10^{-11}\cdot \frac{(5\cdot10^4)^2}{(10^3)^2} \approx1{,}7\cdot10^{-7}\text{ Н}. \]

Ответ: \(1{,}7\cdot10^{-7}\) Н.

3.

При полёте к Луне сила притяжения к Земле уменьшается, а сила притяжения к Луне увеличивается. В середине пути расстояния равны, но масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

Ответ: Земля притягивает станцию в 81 раз сильнее Луны.

4.

Нет. Земля и Солнце притягиваются с одинаковыми по модулю силами по III закону Ньютона. Ускорение Земли меньше, потому что её масса намного меньше массы Солнца.

Вопросы

1. \[ v=gt,\qquad h=H-\frac{gt^2}{2}. \] График \(v(t)\) — прямая, \(h(t)\) — убывающая парабола.

2. а) Да, сила тяжести действовала.
   б) Она направлена против движения вверх.
   в) При падении сила тяжести направлена по движению, поэтому скорость увеличивается.

Упражнение 14

1. \(h=80\) м.
2. \(t=0{,}4\) с.
3. \(t=3\) с; за первую секунду — \(5\) м, за последнюю — \(25\) м.
4. \(v=25\) м/с.
5. \(s=12{,}5\) м.
6. \(t=1\) с; \(h=4{,}9\) м.
7. \(t_{\text{полёта}}=2t_{\text{подъёма}}\).
8. \(15\) м/с вниз.

Пришли фото или полный текст упражнения 14 — тогда распишу решения по каждому пункту.

Это продолжение: на фото упражнение 14. Решения:

1

При свободном падении:

\[ h=\frac{gt^2}{2} \]

\[ h=\frac{10\cdot4^2}{2}=80\text{ м} \]

Ответ: \(80\) м.

2

\(80\text{ см}=0{,}8\text{ м}\).

\[ h=\frac{gt^2}{2},\qquad t=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

\[ t=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}8}{10}}=0{,}4\text{ с} \]

Ответ: \(0{,}4\) с.

3

\[ h=\frac{gt^2}{2} \]

\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{\frac{2\cdot45}{10}}=3\text{ с} \]

За первую секунду:

\[ s_1=\frac{gt^2}{2}=\frac{10\cdot1^2}{2}=5\text{ м}. \]

За первые две секунды:

\[ s_2=\frac{10\cdot2^2}{2}=20\text{ м}. \]

За последнюю секунду:

\[ s_{\text{посл.}}=45-20=25\text{ м}. \]

Ответ: \(3\) с; за первую секунду — \(5\) м, за последнюю — \(25\) м.

4

\[ v=gt=10\cdot2{,}5=25\text{ м/с} \]

Ответ: \(25\) м/с вниз.

5

Камень сначала поднимется:

\[ h_1=\frac{v_0^2}{2g} =\frac{5^2}{2\cdot10}=1{,}25\text{ м}. \]

Затем он упадёт с максимальной высоты:

\[ h_2=10+1{,}25=11{,}25\text{ м}. \]

Весь путь:

\[ s=h_1+h_2=1{,}25+11{,}25=12{,}5\text{ м}. \]

Ответ: \(12{,}5\) м.

6

В верхней точке скорость равна нулю:

\[ v=v_0-gt \]

\[ 0=9{,}8-9{,}8t,\qquad t=1\text{ с}. \]

Перемещение:

\[ h=v_0t-\frac{gt^2}{2} =9{,}8\cdot1-\frac{9{,}8\cdot1^2}{2} =4{,}9\text{ м}. \]

Ответ: \(1\) с; \(4{,}9\) м вверх.

7

Время подъёма найдём из формулы:

\[ 0=v_0-gt_{\text{под}}, \]

\[ t_{\text{под}}=\frac{v_0}{g}. \]

При возвращении на землю перемещение равно нулю:

\[ v_0t-\frac{gt^2}{2}=0. \]

Отсюда ненулевое время полёта:

\[ t_{\text{пол}}=\frac{2v_0}{g}. \]

Следовательно,

\[ t_{\text{пол}}=2t_{\text{под}}. \]

Что и требовалось доказать.

8

Без сопротивления воздуха при возвращении в точку броска модуль скорости равен начальному:

\[ v=15\text{ м/с}. \]

Ответ: \(15\) м/с вниз.

Если речь о тривиальных названиях в химии, учи не списком, а карточками:

1. Раздели вещества по классам: кислоты, спирты, альдегиды и т. д.
2. На одной стороне карточки — название, на другой — формула и класс.
3. Запоминай через ассоциации:
   • муравьиная кислота — связана с муравьями — \( \mathrm{HCOOH} \);
   • уксусная — уксус — \( \mathrm{CH_3COOH} \).
4. Повторяй по схеме: через 10 минут, вечером, на следующий день и через 3 дня.
5. Проверяй себя в обе стороны: название → формула и формула → название.

Пришли список названий — составлю короткую таблицу с мнемониками.

Это продолжение текущей учебной цели — выучить тривиальные названия в химии. Учитываю список названий и формул; страницу по физике считаю посторонней.

Хорошо. Пришли фото или перепиши список тривиальных названий — составлю краткую таблицу для быстрого запоминания.

Это продолжение текущей учебной цели — выучить тривиальные названия в химии. На первом фото представлен нужный список названий и формул; страницу по физике считаю посторонней.