Реши с 21
Краткие ответы
21) \(39\) км.
22) Прямая \(y=m\) имеет ровно три общие точки с графиком при
\[
\boxed{-\frac{25}{4}<m<\frac94}.
\]
21
Пусть \(t\) — время движения второго велосипедиста до встречи, в часах. Первый велосипедист был в пути на \(7\) минут меньше:
\[ 7\text{ мин}=\frac7{60}\text{ ч}. \]
Составим уравнение по расстоянию между городами:
\[ 24\left(t-\frac7{60}\right)+20t=83. \]
\[ 24t-\frac{14}{5}+20t=83, \]
\[ 44t=\frac{429}{5}, \qquad t=\frac{429}{220}=1{,}95\text{ ч}. \]
Расстояние, пройденное вторым велосипедистом:
\[ 20\cdot1{,}95=39\text{ км}. \]
Ответ: \(\boxed{39\text{ км}}\).
22
Раскроем модули отдельно при \(x<0\) и \(x\ge 0\):
\[ y=x|x|-|x|-4x= \begin{cases} -x^2-3x,&x<0,\\ x^2-5x,&x\ge0. \end{cases} \]
Для построения:
- левая часть — ветвь параболы \(y=-x^2-3x\), её вершина: \[ \left(-\frac32,\frac94\right); \]
- правая часть — ветвь параболы \(y=x^2-5x\), её вершина: \[ \left(\frac52,-\frac{25}{4}\right); \]
- нули функции: \((-3;0)\), \((0;0)\), \((5;0)\).
Рассмотрим горизонтальную прямую \(y=m\). Она пересекает график ровно в трёх точках, если её уровень находится между наименьшим и наибольшим значениями вершин:
\[ -\frac{25}{4}<m<\frac94. \]
Следовательно,
\[ \boxed{m\in\left(-\frac{25}{4};\frac94\right)}. \]
Обсуждение
4 сообщения21 полностью с решением
21. Решение
Пусть второй велосипедист ехал до встречи \(x\) часов.
Скорость второго велосипедиста — \(20\ \text{км/ч}\), поэтому он проехал:
\[ 20x\ \text{км}. \]
Первый велосипедист ехал на \(7\) минут меньше. Переведём минуты в часы:
\[ 7\text{ мин}=\frac{7}{60}\text{ ч}. \]
Значит, время движения первого велосипедиста:
\[ x-\frac{7}{60}\text{ ч}. \]
Его скорость — \(24\ \text{км/ч}\), поэтому он проехал:
\[ 24\left(x-\frac{7}{60}\right)\text{ км}. \]
Расстояние между городами равно \(83\) км. Составим уравнение:
\[ 24\left(x-\frac{7}{60}\right)+20x=83. \]
Раскроем скобки:
\[ 24x-\frac{168}{60}+20x=83, \]
\[ 44x-\frac{14}{5}=83, \]
\[ 44x=83+\frac{14}{5} =\frac{415}{5}+\frac{14}{5} =\frac{429}{5}, \]
\[ x=\frac{429}{5\cdot44} =\frac{429}{220} =1{,}95\text{ ч}. \]
Найдём расстояние, которое проехал второй велосипедист:
\[ 20\cdot1{,}95=39\text{ км}. \]
Ответ: \(\boxed{39\text{ км}}\).
Реши задания
23
Так как \(EF\parallel KH\), то треугольники \(PEF\) и \(PKH\) подобны:
\[ \triangle PEF\sim\triangle PKH. \]
Следовательно,
\[ \frac{PF}{PH}=\frac{EF}{KH}=\frac{4}{24}=\frac16. \]
Пусть \(PF=x\). Тогда
\[ PH=PF+FH=x+25. \]
Составим уравнение:
\[ \frac{x}{x+25}=\frac16. \]
\[ 6x=x+25, \]
\[ 5x=25, \]
\[ x=5. \]
\[ \boxed{PF=5} \]
24
В трапеции \(FDBA\):
\[ DB\parallel FA,\qquad DB=4,\qquad FA=64,\qquad DA=16. \]
Рассмотрим треугольники \(BDA\) и \(DAF\).
Так как \(DB\parallel FA\), а \(DA\) — секущая, то
\[ \angle BDA=\angle DAF. \]
Кроме того,
\[ \frac{BD}{DA}=\frac{4}{16}=\frac14, \]
а
\[ \frac{DA}{AF}=\frac{16}{64}=\frac14. \]
Значит,
\[ \frac{BD}{DA}=\frac{DA}{AF}. \]
Таким образом, две стороны треугольников пропорциональны, а углы между ними равны. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними:
\[ \boxed{\triangle BDA\sim\triangle DAF}. \]
25
Пусть
\[ HE=a,\qquad \angle EHR=\angle RHZ=\alpha. \]
Расположим \(HR\) горизонтально. Так как \(EO\perp HR\), проекции точек \(E\) и \(O\) на \(HR\) совпадают.
Проекция точки \(E\):
\[ HE\cos\alpha=a\cos\alpha. \]
Точка \(O\) — середина \(HZ\), поэтому её проекция равна
\[ \frac{HZ}{2}\cos\alpha. \]
Следовательно,
\[ a\cos\alpha=\frac{HZ}{2}\cos\alpha, \]
откуда
\[ HZ=2HE=2a. \]
Так как \(O\) — середина \(HZ\), а \(EO\perp HR\), то
\[ EO=2a\sin\alpha. \]
По условию \(EO=76\), значит
\[ 2a\sin\alpha=76, \]
\[ a\sin\alpha=38. \tag{1} \]
По теореме о биссектрисе:
\[ \frac{ER}{RZ}=\frac{HE}{HZ}=\frac12. \]
Используя \(HE=a\) и \(HZ=2a\), получаем длину биссектрисы:
\[ HR=\frac{2\cdot HE\cdot HZ\cos\alpha}{HE+HZ} =\frac{2\cdot a\cdot2a\cos\alpha}{3a} =\frac{4a\cos\alpha}{3}. \]
Так как \(HR=76\), то
\[ \frac{4a\cos\alpha}{3}=76, \]
\[ a\cos\alpha=57. \tag{2} \]
Из (1) и (2):
\[ a^2=(a\sin\alpha)^2+(a\cos\alpha)^2 =38^2+57^2. \]
\[ a=\sqrt{1444+3249} =\sqrt{4693} =19\sqrt{13}. \]
Следовательно,
\[ HE=19\sqrt{13}, \]
\[ HZ=2HE=38\sqrt{13}. \]
Найдём третью сторону \(EZ\). В координатах разность вертикальных составляющих равна
\[ 3a\sin\alpha=3\cdot38=114, \]
а разность горизонтальных составляющих:
\[ a\cos\alpha=57. \]
По теореме Пифагора:
\[ EZ=\sqrt{57^2+114^2} =\sqrt{57^2(1+4)} =57\sqrt5. \]
Ответ:
\[ \boxed{HE=19\sqrt{13},\quad HZ=38\sqrt{13},\quad EZ=57\sqrt5}. \]
