Реши 25

Краткий ответ: \[ \boxed{HE=19\sqrt{13},\quad HZ=38\sqrt{13},\quad EZ=57\sqrt5.} \]

Решение

Пусть \[ HE=x,\qquad HZ=y,\qquad \angle EHR=\angle RHZ=\alpha. \]

Так как \(HR\) — биссектриса, лучи \(HE\) и \(HZ\) образуют с \(HR\) равные углы.

Точка \(O\) — середина \(HZ\). Поскольку \(EO\perp HR\), проекции точек \(E\) и \(O\) на \(HR\) совпадают:

\[ x\cos\alpha=\frac y2\cos\alpha. \]

Следовательно, \[ y=2x. \]

Расстояние \(EO\) складывается из расстояний точек \(E\) и \(O\) до \(HR\):

\[ EO=x\sin\alpha+\frac y2\sin\alpha =2x\sin\alpha. \]

По условию \(EO=76\), значит: \[ 2x\sin\alpha=76. \tag{1} \]

Длина биссектрисы: \[ HR=\frac{2xy\cos\alpha}{x+y}. \]

Подставим \(y=2x\): \[ HR=\frac{4x\cos\alpha}{3}. \]

Так как \(HR=EO\), получаем: \[ \frac{4x\cos\alpha}{3}=2x\sin\alpha, \] \[ \tan\alpha=\frac23. \]

Отсюда: \[ \sin\alpha=\frac2{\sqrt{13}},\qquad \cos 2\alpha=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha} =\frac5{13}. \]

Из (1): \[ 2x\cdot\frac2{\sqrt{13}}=76, \] \[ x=19\sqrt{13}. \]

Тогда \[ HE=x=19\sqrt{13},\qquad HZ=2x=38\sqrt{13}. \]

Теперь найдём \(EZ\) по теореме косинусов:

\[ EZ^2=x^2+(2x)^2-2\cdot x\cdot2x\cos2\alpha. \]

\[ EZ^2=5x^2-4x^2\cdot\frac5{13} =\frac{45}{13}x^2. \]

Так как \(x^2=361\cdot13\), то \[ EZ^2=361\cdot45, \] \[ EZ=19\sqrt{45}=57\sqrt5. \]

Проверка: при найденных значениях \(EO=HR=76\), условие выполнено.