Реши с 6 по 13 через параметр К

Считаем, что \(PQ=P\cap Q\), \(\overline P=U\setminus P\), а \(P\otimes Q\) — симметрическая разность: \[ P\otimes Q=(P-Q)\cup(Q-P). \] \(K\) — произвольное множество-параметр.

Краткий ответ

6. Если \(B=U\), то \(\boxed{X=A}\). При \(B\ne U\) решений нет.

7. \[ \boxed{X=(B-A)\cup K,\qquad K\subseteq A\cap B.} \]

8. Если \(A=\varnothing\), то \[ \boxed{X=K,\qquad K\subseteq\overline B.} \] При \(A\ne\varnothing\) решений нет.

9. Если \(A=U,\ B=\varnothing\), то \[ \boxed{X=K,\qquad K\subseteq U} \] то есть \(X\) — любое множество. Иначе решений нет.

10. \[ \boxed{X=\overline A\cup K,\qquad K\subseteq A-B.} \]

11. Если \(A\subseteq B\), то \(\boxed{X=\varnothing}\). Иначе решений нет.

12. \[ \boxed{X=K,\qquad K\subseteq A\cap B.} \]

13. \[ \boxed{X=A\otimes B=(A-B)\cup(B-A).} \]

Объяснение через принадлежность элемента

Возьмём произвольный элемент \(t\in U\). Обозначим:

\[ a= \begin{cases} 1,&t\in A,\\ 0,&t\notin A, \end{cases} \quad b= \begin{cases} 1,&t\in B,\\ 0,&t\notin B, \end{cases} \quad x= \begin{cases} 1,&t\in X,\\ 0,&t\notin X. \end{cases} \]

Решаем уравнение для \(x\).

6. \(\overline A\otimes BX=A\cup B\)

Если \(b=0\), равенство невозможно при любом \(a\). Значит,

\[ B=U. \]

Тогда:

\[ \overline A\otimes X=U. \]

Симметрическая разность равна \(U\), когда множества дополняют друг друга, поэтому

\[ X=A. \]

Проверка:

\[ \overline A\otimes A=U=A\cup U. \]

---

7. \(A\cup X=B\cup A\overline X\)

Рассмотрим четыре случая:

\[ \begin{array}{c|c|c} A&B&X\\ \hline 0&0&0\\ 0&1&1\\ 1&0&0\\ 1&1&\text{произвольно} \end{array} \]

Значит, обязательно:

• \(X=B-A\) на части \(B-A\);
• на \(A\cap B\) можно выбрать любые элементы.

Поэтому

\[ X=(B-A)\cup K,\qquad K\subseteq A\cap B. \]

---

8. \(BX-\overline A=BX\otimes A\)

Левая часть:

\[ BX-\overline A=BX\cap A. \]

Если \(a=1\), получаем:

\[ BX= \overline{BX}, \]

что невозможно. Поэтому

\[ A=\varnothing. \]

Тогда:

\[ BX-U=\varnothing,\qquad BX\otimes\varnothing=BX. \]

Следовательно,

\[ BX=\varnothing, \]

то есть

\[ X\subseteq\overline B. \]

Поэтому

\[ X=K,\qquad K\subseteq\overline B. \]

---

9. \((A\otimes X)\otimes\overline X=AB\)

Используем свойства симметрической разности:

\[ (A\otimes X)\otimes\overline X =A\otimes(X\otimes\overline X) =A\otimes U =\overline A. \]

Получаем:

\[ \overline A=AB. \]

Левая и правая части лежат в непересекающихся областях, поэтому обе должны быть пустыми:

\[ \overline A=\varnothing,\qquad AB=\varnothing. \]

Значит,

\[ A=U,\qquad B=\varnothing. \]

При этих условиях равенство верно для любого \(X\):

\[ X=K,\qquad K\subseteq U. \]

---

10. \(\overline B\cup\overline X=(X-B)\cup A\)

Рассмотрим области:

• вне \(A\): обязательно \(X=U\);
• на \(A\cap B\): обязательно \(X=\varnothing\);
• на \(A-B\): \(X\) выбирается произвольно.

Значит,

\[ X=\overline A\cup K,\qquad K\subseteq A-B. \]

---

11. \((A-X)\cup B=B\otimes X\)

Если \(t\in B\), то левая часть равна \(1\), а правая часть равна \(\overline x\). Поэтому

\[ x=0. \]

Если \(t\notin B\), то равенство возможно только при \(t\notin A\), то есть

\[ A\subseteq B. \]

Во всех случаях \(x=0\), значит

\[ X=\varnothing. \]

Проверка:

\[ (A-\varnothing)\cup B=A\cup B=B, \] если \(A\subseteq B\), а

\[ B\otimes\varnothing=B. \]

---

12. \(AX\otimes B=B-X\)

Элемент может принадлежать \(X\) только тогда, когда он одновременно принадлежит \(A\) и \(B\). Поэтому

\[ X\subseteq A\cap B. \]

На \(A\cap B\) элементы можно выбирать произвольно:

\[ X=K,\qquad K\subseteq A\cap B. \]

Проверка: если \(X\subseteq A\cap B\), то \(AX=X\), и

\[ AX\otimes B=X\otimes B=B-X. \]

---

13. \(BX=A\otimes(B\cup X)\)

Если элемент не принадлежит \(A\), то из уравнения следует:

\[ x=b. \]

Если элемент принадлежит \(A\), то:

\[ x=\overline b. \]

Значит, \(X\) состоит из элементов, принадлежащих только одному из множеств \(A\) и \(B\):

\[ X=(A-B)\cup(B-A). \]

Следовательно,

\[ \boxed{X=A\otimes B}. \]