Реши с 6 по 13 через параметр К
Краткий ответ. Пусть \(K\subseteq U\) — произвольное множество, а дополнения берутся относительно \(U\).
\[ \boxed{X=\overline A} \] при условии \(\boxed{B=U}\). Если \(B\ne U\), решений нет.
\[ \boxed{X=(\overline A\cap B)\cup(A\cap B\cap K)}. \]
\[ \boxed{X=\overline B\cap K} \] при условии \(\boxed{A=\varnothing}\). Если \(A\ne\varnothing\), решений нет.
\[ \boxed{X=K} \] при условиях \[ \boxed{A=U,\qquad B=\varnothing}. \] В остальных случаях решений нет.
\[ \boxed{X=\overline A\cup(A\cap\overline B\cap K)}. \]
\[ \boxed{X=\varnothing} \] при условии \(\boxed{A\subseteq B}\). Если \(A\nsubseteq B\), решений нет.
\[ \boxed{X=K\cap\bigl((A\cap B)\cup(\overline A\cap\overline B)\bigr)} \] или \[ \boxed{X=K\cap\overline{A\otimes B}}. \]
\[ \boxed{X=A\otimes B=(A\cap\overline B)\cup(\overline A\cap B)}. \]
Принцип решения через параметр \(K\)
Рассматриваем каждый элемент \(u\in U\) отдельно:
- \(a=1\), если \(u\in A\);
- \(b=1\), если \(u\in B\);
- \(x=1\), если \(u\in X\).
Универсальное множество разбивается на четыре области:
\[ A\cap B,\quad A\cap\overline B,\quad \overline A\cap B,\quad \overline A\cap\overline B. \]
В таблице:
- \(0\) — элемент не входит в \(X\);
- \(1\) — элемент обязательно входит в \(X\);
- \(K\) — элемент можно включить или не включить;
- «—» — равенство невозможно, поэтому эта область должна быть пустой.
| № | \(A\cap B\) | \(A\cap\overline B\) | \(\overline A\cap B\) | \(\overline A\cap\overline B\) |
|---|---|---|---|---|
| 6 | \(0\) | — | \(1\) | — |
| 7 | \(K\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| 8 | — | — | \(0\) | \(K\) |
| 9 | — | \(K\) | — | — |
| 10 | \(0\) | \(K\) | \(1\) | \(1\) |
| 11 | \(0\) | — | \(0\) | \(0\) |
| 12 | \(K\) | \(0\) | \(0\) | \(K\) |
| 13 | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
Пример: №7
\[ A\cup X=B\cup(A\cap\overline X). \]
- На \(A\cap B\) обе части уже равны \(1\), поэтому \(x\) любой — параметр \(K\).
- На \(A\cap\overline B\): \(1=\overline x\), значит \(x=0\).
- На \(\overline A\cap B\): \(x=1\).
- На \(\overline A\cap\overline B\): \(x=0\).
Поэтому
\[ X=(\overline A\cap B)\cup(A\cap B\cap K). \]
Откуда берутся условия существования
В №6 невозможны обе области, лежащие в \(\overline B\). Значит,
\[ \overline B=\varnothing\quad\Longrightarrow\quad B=U. \]
В №8 невозможны обе области множества \(A\), поэтому \(A=\varnothing\).
В №9 используется тождество
\[ (A\otimes X)\otimes\overline X =A\otimes(X\otimes\overline X) =A\otimes U=\overline A. \]
Следовательно,
\[ \overline A=A\cap B. \]
Эти множества лежат по разные стороны от \(A\), поэтому оба должны быть пустыми:
\[ A=U,\qquad B=\varnothing. \]
В №11 невозможна область \(A\cap\overline B\), значит
\[ A\cap\overline B=\varnothing \quad\Longleftrightarrow\quad A\subseteq B. \]
Таблица одновременно является полной проверкой: каждый элемент \(U\) обязательно находится ровно в одной из четырёх рассмотренных областей.
