13а
Краткий ответ: отношение \(R\) на \(A=\{0,1,2,4,7\}\)
- рефлексивно;
- несимметрично;
- антисимметрично;
- транзитивно;
- не является отношением эквивалентности;
- является линейным отношением порядка.
Относительно \(R\):
\[ \boxed{\text{минимальный элемент }7,\qquad \text{максимальный элемент }0}. \]
Объяснение
По условию
\[ xRy \iff 3x\ge 2y \iff y\le \frac32x. \]
Найдём, с какими элементами связан каждый \(x\):
\[ \begin{array}{c|c} x & \{y\in A:xRy\}\\ \hline 0 & \{0\}\\ 1 & \{0,1\}\\ 2 & \{0,1,2\}\\ 4 & \{0,1,2,4\}\\ 7 & \{0,1,2,4,7\} \end{array} \]
Значит, на данном множестве
\[ xRy\iff x\ge y. \]
Отсюда:
- Рефлексивность: \(x\ge x\), поэтому \(xRx\).
- Несимметричность: \(1R0\), но \(0\not R1\).
- Антисимметричность: если \(x\ge y\) и \(y\ge x\), то \(x=y\).
- Транзитивность: если \(x\ge y\) и \(y\ge z\), то \(x\ge z\).
Для эквивалентности нужна симметричность, поэтому это не эквивалентность. Рефлексивность, антисимметричность и транзитивность выполнены, значит это порядок. Любые два элемента сравнимы, поэтому порядок линейный.
Порядок совпадает с обычным \(\ge\), то есть направлен в обратную сторону:
\[ 7\,R\,4\,R\,2\,R\,1\,R\,0. \]
Поэтому относительно \(R\) минимален \(7\), а максимален \(0\).
Обсуждение
5 сообщений\[ \boxed{X=A\otimes B} \]
Дано уравнение:
\[ BX=A\otimes(B\cup X), \]
где \(BX=B\cap X\), а \(\otimes\) — симметрическая разность.
Рассмотрим принадлежность произвольного элемента множествам \(A,B,X\):
| \(a\) | \(b\) | Уравнение для \(x\) | \(x\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | \(0=x\) | 0 |
| 0 | 1 | \(x=1\) | 1 |
| 1 | 0 | \(0=\overline{x}\) | 1 |
| 1 | 1 | \(x=0\) | 0 |
Следовательно, элемент входит в \(X\), только когда он входит ровно в одно из множеств \(A\) и \(B\). Поэтому
\[ X=A\otimes B. \]
Проверка:
\[ BX=B\cap(A\otimes B)=B-A, \]
\[ A\otimes(B\cup X) =A\otimes\bigl(B\cup(A\otimes B)\bigr) =A\otimes(A\cup B)=B-A. \]
Обе части равны, значит
\[ \boxed{X=A\otimes B}. \]
13б
13б
13б
Дано:
\[ xRy \iff 3x\ge 2y,\qquad A=\{8,9,10,11,12\}. \]
Для любых \(x,y\in A\):
\[ 3x\ge 3\cdot 8=24,\qquad 2y\le 2\cdot12=24. \]
Следовательно, \(3x\ge2y\) выполняется для любой пары \(x,y\in A\). Поэтому
\[ R=A\times A. \]
Свойства отношения:
- симметричное — да;
- антисимметричное — нет, например \(8R9\) и \(9R8\), но \(8\ne9\);
- транзитивное — да;
- рефлексивное — да.
Значит, \(R\) является отношением эквивалентности, но не является отношением порядка, так как оно не антисимметрично.
Все элементы эквивалентны друг другу, поэтому имеется один класс эквивалентности:
\[ \boxed{[8]=[9]=[10]=[11]=[12]=\{8,9,10,11,12\}}. \]
13б
Дано:
\[ xRy \iff 3x\ge 2y,\qquad A=\{8,9,10,11,12\}. \]
Для любых \(x,y\in A\):
\[ 3x\ge 3\cdot 8=24,\qquad 2y\le 2\cdot 12=24. \]
Следовательно, \(3x\ge2y\) для любой пары \(x,y\in A\). Значит,
\[ R=A\times A. \]
Отсюда:
- симметрично: да;
- антисимметрично: нет, например \(8R9\) и \(9R8\), но \(8\ne9\);
- транзитивно: да;
- рефлексивно: да;
- отношение эквивалентности: да;
- отношение порядка: нет, поскольку отсутствует антисимметричность.
Все элементы эквивалентны друг другу, поэтому имеется один класс эквивалентности:
\[ \boxed{[8]=[9]=[10]=[11]=[12]=\{8,9,10,11,12\}}. \]
