В 7 у меня получилось х= ((дополнение а) пересечение b) объединение (b пересечение a пересечение к) так тоже можно?

Пришли, пожалуйста, условие или фото задания № 8 — в чате его не видно.

№ 8

\[ BX-\overline A=BX\otimes A, \]

где \(BX=B\cap X\), а \(\otimes\) — симметрическая разность.

Левая часть:

\[ BX-\overline A=BX\cap A. \]

Но множество \(BX\cap A\) состоит из общих элементов \(BX\) и \(A\), а симметрическая разность \(BX\otimes A\), наоборот, не содержит их общих элементов. Поэтому равенство возможно, только если обе части пусты.

Чтобы

\[ BX\otimes A=\varnothing, \]

необходимо \(BX=A\). Тогда левая часть равна \(A\), значит также должно выполняться \(A=\varnothing\). Следовательно,

\[ A=\varnothing,\qquad B\cap X=\varnothing. \]

Ответ:

• если \(A\ne\varnothing\), решений нет;
• если \(A=\varnothing\), то

\[ \boxed{X\subseteq\overline B} \]

(то есть \(X\cap B=\varnothing\)).

№ 9

\[ (A\otimes X)\otimes \overline X=AB, \]

где \(AB=A\cap B\).

Используем свойства симметрической разности:

\[ (A\otimes X)\otimes\overline X =A\otimes(X\otimes\overline X). \]

Так как

\[ X\otimes\overline X=U, \]

то

\[ A\otimes U=\overline A. \]

Уравнение принимает вид:

\[ \overline A=A\cap B. \]

Множества \(\overline A\) и \(A\cap B\) лежат в непересекающихся областях, поэтому они равны только тогда, когда оба пусты:

\[ \overline A=\varnothing,\qquad A\cap B=\varnothing. \]

Отсюда:

\[ A=U,\qquad B=\varnothing. \]

При этих условиях \(X\) может быть любым подмножеством \(U\).

\[ \boxed{\text{Если }A=U,\ B=\varnothing,\text{ то }X\subseteq U\text{ — любое.}} \]

Во всех остальных случаях решений нет.

№ 10

\[ \overline B\cup\overline X=(X-B)\cup A. \]

Рассмотрим области:

1. Вне \(A\) элементы обязательно должны входить в \(X\): \[ \overline A\subseteq X. \]

2. В \(A\cap B\) элементы не должны входить в \(X\).

3. В \(A\setminus B=A\cap\overline B\) множество \(X\) может выбираться произвольно: обе части уравнения уже содержат эти элементы.

Поэтому общее решение:

\[ \boxed{X=\overline A\cup C,\qquad C\subseteq A\setminus B.} \]

Или через произвольное множество \(K\):

\[ \boxed{X=\overline A\cup(A\cap\overline B\cap K)}. \]

Равносильная запись:

\[ \boxed{\overline A\subseteq X\subseteq\overline{A\cap B}}. \]

Да, получилось правильно:

\[ \boxed{X=\overline A\cup(K\cap\overline B\cap A)}, \]

где \(K\) — произвольное множество.

Это та же запись, что и

\[ X=\overline A\cup C,\qquad C\subseteq A\cap\overline B. \]

Здесь \(\overline A\) обязательно входит в \(X\), а из области \(A\cap\overline B\) можно взять любую часть, которую задаёт \(K\).

№ 11

\[ (A-X)\cup B=B\oplus X. \]

Рассмотрим элементы множества \(B\). В левой части они присутствуют всегда. В правой части элемент из \(B\) входит только тогда, когда он не входит в \(X\). Поэтому

\[ B\cap X=\varnothing,\qquad X\subseteq\overline B. \]

Теперь рассмотрим элементы множества \(A\setminus B\). В левой части такой элемент входит, если он не входит в \(X\), а в правой — если он входит в \(X\). Одновременно это невозможно. Значит,

\[ A\setminus B=\varnothing,\qquad A\subseteq B. \]

При \(A\subseteq B\) из условия \(X\subseteq\overline B\) и сравнения элементов вне \(B\) получаем:

\[ X=\varnothing. \]

Проверка:

\[ (A-\varnothing)\cup B=A\cup B=B, \]

так как \(A\subseteq B\), а

\[ B\oplus\varnothing=B. \]

Ответ:

\[ \boxed{\text{если }A\subseteq B,\text{ то }X=\varnothing;} \]

\[ \boxed{\text{если }A\not\subseteq B,\text{ решений нет}.} \]

№ 12

\[ AX\oplus B=B-X, \]

где \(AX=A\cap X\), а \(B-X=B\cap\overline X\).

Рассмотрим области, в которых может находиться \(X\).

• В области \(A\cap\overline B\) элементы \(X\) быть не могут, иначе левая часть содержит их, а правая — нет.
• В области \(\overline A\cap B\) элементы \(X\) также быть не могут: в левой части они останутся, а в правой исчезнут.
• В областях \(A\cap B\) и \(\overline A\cap\overline B\) элементы можно выбирать произвольно.

Значит,

\[ X\subseteq (A\cap B)\cup(\overline A\cap\overline B). \]

Через произвольное множество \(K\subseteq U\):

\[ \boxed{X=K\cap\left((A\cap B)\cup(\overline A\cap\overline B)\right)}. \]

Или в краткой записи:

\[ \boxed{X=K(AB\cup\overline A\,\overline B)},\qquad K\subseteq U. \]