Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. Неравенство верно при любом \(a\).
2. 1. \(19<5m+n<35\); 2) \(12<mn<30\); 3) \(-2<m-n<2\).
3. 1. \(x<-4\); 2) \(x>-1\).
4. 1. \(-6<x<4\); 2) \(x>4\).
5. 1. \(x>-\dfrac76\); 2) любое действительное число.
6. Целые решения: \(2,3,4,5,6,7,8,9\).
7. \(\displaystyle x\in\left[-\frac52;\,7\right)\).
8. Неравенство верно при любых \(a\) и \(b\).

Разбор решений

1. Докажите \((a-4)^2>a(a-8)\)

Чтобы доказать, что одно выражение больше другого, можно показать, что их разность положительна.

\[ (a-4)^2-a(a-8) =a^2-8a+16-a^2+8a=16. \]

Так как \(16>0\), неравенство верно при любом \(a\).

2. Оцените выражения, если \(3<m<6\) и \(4<n<5\)

1) \(5m+n\)

Умножаем границы для \(m\) на \(5\): \[ 15<5m<30. \] Складываем с \(4<n<5\): \[ 15+4<5m+n<30+5. \] Значит, \[ \boxed{19<5m+n<35}. \]

2) \(mn\)

Оба числа положительны, поэтому можно перемножить соответствующие границы: \[ 3\cdot4<mn<6\cdot5. \] Получаем \[ \boxed{12<mn<30}. \]

3) \(m-n\)

Из \(4<n<5\) следует: \[ -5<-n<-4. \] Складываем с \(3<m<6\): \[ 3-5<m-n<6-4. \] Следовательно, \[ \boxed{-2<m-n<2}. \]

3. Решите неравенства

1) \(-2x>8\).

Делим на \(-2\). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется: \[ \boxed{x<-4}. \]

2) \(6+x>3-2x\).

Переносим слагаемые с \(x\) влево, числа — вправо: \[ x+2x>3-6, \] \[ 3x>-3, \qquad \boxed{x>-1}. \]

4. Решите системы неравенств

В системе должны одновременно выполняться оба неравенства.

1) \[ \begin{cases} 5x-20<0,\\ 3x+18>0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x<4,\\ x>-6. \end{cases} \]

Общая часть решений: \[ \boxed{-6<x<4}. \]

2) \[ \begin{cases} 2x+40>30,\\ 21-4x<5 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2x>-10,\\ -4x<-16 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x>-5,\\ x>4. \end{cases} \]

Оба условия выполняются при \[ \boxed{x>4}. \]

5. Найдите множество решений неравенства

1) \[ \frac{2x}{3}-\frac{x-1}{6}+\frac{x+2}{2}>0. \]

Умножаем обе части на положительное число \(6\): \[ 4x-(x-1)+3(x+2)>0. \]

Раскрываем скобки: \[ 4x-x+1+3x+6>0, \] \[ 6x+7>0, \qquad x>-\frac76. \]

Множество решений: \[ \boxed{\left(-\frac76;+\infty\right)}. \]

2) \[ 4x+3>2(3x-4)-2x. \]

Раскрываем скобки и приводим подобные: \[ 4x+3>6x-8-2x, \] \[ 4x+3>4x-8. \]

Вычитаем \(4x\) из обеих частей: \[ 3>-8. \]

Это верно всегда, независимо от \(x\). Поэтому \[ \boxed{x\in\mathbb R}. \]

6. Найдите целые решения системы

\[ \begin{cases} 5x-1>2x+4,\\ x(x-6)-(x+2)(x-5)>x-30. \end{cases} \]

Из первого неравенства: \[ 3x>5, \qquad x>\frac53. \]

Во втором раскрываем скобки: \[ x^2-6x-(x^2-3x-10)>x-30, \] \[ -3x+10>x-30, \] \[ 40>4x, \qquad x<10. \]

Значит, \[ \frac53<x<10. \]

Выбираем только целые числа из этого промежутка: \[ \boxed{2,3,4,5,6,7,8,9}. \]

7. При каких \(x\) имеет смысл выражение?

\[ \sqrt{2x+5}+\frac4{\sqrt{7-x}}. \]

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля. Поэтому: \[ \begin{cases} 2x+5\geq0,\\ 7-x>0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x\geq-\dfrac52,\\ x<7. \end{cases} \]

Ответ: \[ \boxed{x\in\left[-\frac52;\,7\right)}. \]

Проверка границ: при \(x=-\frac52\) первый корень равен нулю — это допустимо. При \(x=7\) знаменатель равен нулю — это недопустимо.

8. Докажите \(26a^2+10ab+b^2+2a+4>0\)

Представим выражение как сумму квадратов и положительного числа: \[ \begin{aligned} 26a^2+10ab+b^2+2a+4 &=(25a^2+10ab+b^2)+(a^2+2a+1)+3\\ &=(5a+b)^2+(a+1)^2+3. \end{aligned} \]

Квадраты неотрицательны, поэтому \[ (5a+b)^2+(a+1)^2+3\geq3>0. \]

Следовательно, неравенство верно при любых \(a\) и \(b\).