Реши задание на изображении
Краткий ответ
- \(y=\frac1x+2\) — график \(y=\frac1x\), сдвинутый вверх на \(2\).
- \(y=\frac1{x-2}\) — график \(y=\frac1x\), сдвинутый вправо на \(2\).
- \(y=\cos x-3\) — график косинуса вниз на \(3\).
- \(y=\cos\left(x+\frac\pi4\right)\) — график косинуса влево на \(\frac\pi4\).
- \(y=4-x^2\) — парабола \(y=-x^2\), сдвинутая вверх на \(4\).
- \(y=-(x-2)^2\) — парабола \(y=-x^2\), сдвинутая вправо на \(2\).
- \(y=\sin x+2\) — синусоида вверх на \(2\).
- \(y=\sin\left(x+\frac\pi3\right)\) — синусоида влево на \(\frac\pi3\).
а) Обратная пропорциональность
Основной график:
\[ y=\frac1x. \]
Его асимптоты:
\[ x=0,\qquad y=0. \]
Для построения можно взять точки:
\[ (1;1),\quad (-1;-1). \]
- Для
\[ y=\frac1x+2 \]
сдвигаем график вверх на \(2\). Асимптоты:
\[ x=0,\qquad y=2. \]
Например:
\[ (1;3),\quad (-1;1). \]
- Для
\[ y=\frac1{x-2} \]
сдвигаем график вправо на \(2\). Асимптоты:
\[ x=2,\qquad y=0. \]
Например:
\[ (3;1),\quad (1;-1). \]
б) Косинус
Основные точки графика \(y=\cos x\):
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&\frac\pi2&\pi&\frac{3\pi}2&2\pi\\ \hline \cos x&1&0&-1&0&1 \end{array} \]
Для
\[ y=\cos x-3 \]
ординаты уменьшаются на \(3\):
\[ (0;-2),\quad \left(\frac\pi2;-3\right),\quad (\pi;-4),\quad \left(\frac{3\pi}2;-3\right),\quad (2\pi;-2). \]
Для
\[ y=\cos\left(x+\frac\pi4\right) \]
график \(y=\cos x\) сдвигается влево на \(\frac\pi4\). Контрольные точки:
\[ \left(-\frac\pi4;1\right),\quad \left(\frac\pi4;0\right),\quad \left(\frac{3\pi}4;-1\right),\quad \left(\frac{5\pi}4;0\right),\quad \left(\frac{7\pi}4;1\right). \]
в) Параболы
1.
\[ y=-x^2 \]
Вершина:
\[ (0;0), \]
ветви направлены вниз.
2.
\[ y=4-x^2=-x^2+4 \]
График сдвинут вверх на \(4\). Вершина:
\[ (0;4). \]
Нули функции:
\[ 4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm2. \]
3.
\[ y=-(x-2)^2 \]
График сдвинут вправо на \(2\). Вершина:
\[ (2;0), \]
ось симметрии:
\[ x=2. \]
г) Синус
Основные точки \(y=\sin x\):
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&\frac\pi2&\pi&\frac{3\pi}2&2\pi\\ \hline \sin x&0&1&0&-1&0 \end{array} \]
Для
\[ y=\sin x+2 \]
ординаты увеличиваются на \(2\):
\[ (0;2),\quad \left(\frac\pi2;3\right),\quad (\pi;2),\quad \left(\frac{3\pi}2;1\right),\quad (2\pi;2). \]
Для
\[ y=\sin\left(x+\frac\pi3\right) \]
график \(y=\sin x\) сдвигается влево на \(\frac\pi3\). Контрольные точки:
\[ \left(-\frac\pi3;0\right),\quad \left(\frac\pi6;1\right),\quad \left(\frac{2\pi}3;0\right),\quad \left(\frac{7\pi}6;-1\right),\quad \left(\frac{5\pi}3;0\right). \]
После нанесения точек соедините их плавными линиями. Для проверки используйте правило:
\[ f(x)+a — \text{сдвиг вверх на }a,\qquad f(x-a) — \text{сдвиг вправо на }a,\qquad f(x+a) — \text{сдвиг влево на }a. \]
Обсуждение
2 сообщенияНарисуй
Вот схематичные эскизы графиков. В тетради соединяй отмеченные точки плавной линией.
1. \(y=\dfrac1x+2\)
График \(y=\dfrac1x\), сдвиг вверх на \(2\):
y
5 | ╱
4 | ╱
3 | ╱
2 |--------------┆-------------- y=2
1 | ╲ ┆
0 | ╲ ┆
-1 | ╲ ┆
+--------------┆-------------> x
x=0
2. \(y=\dfrac1{x-2}\)
График \(y=\dfrac1x\), сдвиг вправо на \(2\):
y
4 | ╱
3 | ╱
2 | ╱
1 | ╱
0 |--------------┆--------------> x
-1 | ╲ ┆
-2 | ╲ ┆
-3 | ╲
x=2
3. \(y=\cos x-3\)
y
-2 | ● ●
-3 | ╲ ╱ ╲
-4 | ●
+------------------------------> x
0 π/2 π 3π/2 2π
Основные точки:
\[ (0;-2),\quad \left(\frac\pi2;-3\right),\quad (\pi;-4),\quad \left(\frac{3\pi}2;-3\right),\quad (2\pi;-2). \]
4. \(y=\cos\left(x+\dfrac\pi4\right)\)
Косинус сдвинут влево на \(\dfrac\pi4\):
y
1 | ● ●
0 | ╲ ╱ ╲
-1 | ●
+-------------------------------> x
-π/4 π/4 3π/4 5π/4 7π/4
5. \(y=4-x^2\)
Парабола с вершиной \((0;4)\):
y
4 | ●
3 | ╱ ╲
2 | ╱ ╲
1 | ╱ ╲
0 |------●---------------●--------> x
-2 0 2
6. \(y=-(x-2)^2\)
Парабола с вершиной \((2;0)\):
y
0 | ●
-1 | ╱ ╲
-2 | ╱ ╲
-3 | ╱ ╲
-4 | ╱ ╲
+--------------------------------> x
0 2 4
7. \(y=\sin x+2\)
y
3 | ●
2 | ● ● ●
1 | ●
+-------------------------------> x
0 π/2 π 3π/2 2π
Основные точки:
\[ (0;2),\quad \left(\frac\pi2;3\right),\quad (\pi;2),\quad \left(\frac{3\pi}2;1\right),\quad (2\pi;2). \]
8. \(y=\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)\)
Синус сдвинут влево на \(\dfrac\pi3\):
y
1 | ●
0 | ● ● ●
-1 | ●
+---------------------------------> x
-π/3 π/6 2π/3 7π/6 5π/3
