342

Албетте. Ар бир бөлүгүн өзүнчө түшүндүрөлү.

Негизги эрежелер:

\[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1 \]

Ошондой эле:

\[ \int \cos x\,dx=\sin x,\qquad \int(-\sin x)\,dx=\cos x. \]

Бул жерде \(C\) — каалаган туруктуу сан.

---

а) \(\displaystyle \int\left(2-x^3+\frac{3}{x^3}\right)dx\)

Ар бир мүчөнү өзүнчө интегралдайбыз:

\[ \int 2\,dx=2x. \]

\[ \int(-x^3)\,dx=-\frac{x^4}{4}. \]

Үчүнчү мүчөдө бөлчөк даража түрүндө жазылат:

\[ \frac{3}{x^3}=3x^{-3}. \]

Ошондуктан:

\[ \int 3x^{-3}dx =3\cdot\frac{x^{-2}}{-2} =-\frac{3}{2}x^{-2} =-\frac{3}{2x^2}. \]

Демек,

\[ \boxed{F(x)=2x-\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2x^2}+C}. \]

---

б) \(\displaystyle \int\left(x-\frac{2}{x^5}+\cos x\right)dx\)

Биринчи мүчө:

\[ \int x\,dx=\frac{x^2}{2}. \]

Экинчи мүчө:

\[ -\frac{2}{x^5}=-2x^{-5}. \]

Ошондуктан:

\[ \int -2x^{-5}dx =-2\cdot\frac{x^{-4}}{-4} =\frac12x^{-4} =\frac{1}{2x^4}. \]

Үчүнчү мүчө:

\[ \int\cos x\,dx=\sin x. \]

Жооп:

\[ \boxed{F(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^4}+\sin x+C}. \]

---

в) \(\displaystyle \int\left(\frac{1}{x^2}-\sin x\right)dx\)

Бөлчөктү даража түрүндө жазабыз:

\[ \frac1{x^2}=x^{-2}. \]

Анда:

\[ \int x^{-2}dx =\frac{x^{-1}}{-1} =-x^{-1} =-\frac1x. \]

Ал эми:

\[ \int(-\sin x)\,dx=\cos x. \]

Демек,

\[ \boxed{F(x)=-\frac1x+\cos x+C}. \]

---

г) \(\displaystyle \int(5x^2-1)dx\)

Биринчи мүчө:

\[ \int5x^2dx =5\cdot\frac{x^3}{3} =\frac53x^3. \]

Экинчи мүчө:

\[ \int(-1)dx=-x. \]

Ошондуктан:

\[ \boxed{F(x)=\frac53x^3-x+C}. \]

Жыйынтык: ар бир мүчө өзүнчө интегралданат, андан кийин алынган жооптор кошулат.

Пришли, пожалуйста, условие или фото номера 343 — разберу его по тому же правилу, подробно по каждому пункту.

№ 343 — ар бир функциянын баштапкы функциясын табабыз. Баштапкы функция \(F(x)\) үчүн:

\[ F'(x)=f(x). \]

Ички функциясы бар өрнөктөрдө ички функциянын туундусун эске алабыз.

---

а) \(\displaystyle f(x)=(2x-3)^5\)

Ички функция:

\[ u=2x-3,\qquad u'=2. \]

Демек, \(2\) коэффициентин эске алып, бөлөбүз:

\[ \int(2x-3)^5dx =\frac{(2x-3)^6}{2\cdot6}+C. \]

Ошондуктан:

\[ \boxed{F(x)=\frac{(2x-3)^6}{12}+C}. \]

Текшерүү:

\[ \left(\frac{(2x-3)^6}{12}\right)' =\frac{6(2x-3)^5\cdot2}{12} =(2x-3)^5. \]

---

б) \(\displaystyle f(x)=3\sin 2x\)

Белгилүү формула:

\[ \int\sin u\,du=-\cos u. \]

Бул жерде \(u=2x\), ал эми \(u'=2\). Ошондуктан:

\[ \int3\sin2x\,dx =3\cdot\left(-\frac{\cos2x}{2}\right). \]

Демек:

\[ \boxed{F(x)=-\frac32\cos2x+C}. \]

Текшерүү:

\[ \left(-\frac32\cos2x\right)' =-\frac32(-\sin2x)\cdot2 =3\sin2x. \]

---

в) \(\displaystyle f(x)=(4-5x)^7\)

Ички функция:

\[ u=4-5x,\qquad u'=-5. \]

Даражаны бирге көбөйтөбүз:

\[ \int(4-5x)^7dx =\frac{(4-5x)^8}{8\cdot(-5)}+C. \]

Ошондуктан:

\[ \boxed{F(x)=-\frac{(4-5x)^8}{40}+C}. \]

Текшерүү:

\[ \left(-\frac{(4-5x)^8}{40}\right)' =-\frac{8(4-5x)^7\cdot(-5)}{40} =(4-5x)^7. \]

---

г) \(\displaystyle f(x)=-\frac13\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)\)

Ички функция:

\[ u=\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4},\qquad u'=\frac13. \]

Анткени:

\[ \int\cos u\,du=\sin u, \]

анда:

\[ \int-\frac13\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)dx =-\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)+C. \]

Демек:

\[ \boxed{F(x)=-\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)+C}. \]

Текшерүү:

\[ \left[-\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)\right]' =-\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)\cdot\frac13, \]

\[ =-\frac13\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right). \]

Жооптор:

\[ \boxed{\text{а) }F(x)=\frac{(2x-3)^6}{12}+C} \]

\[ \boxed{\text{б) }F(x)=-\frac32\cos2x+C} \]

\[ \boxed{\text{в) }F(x)=-\frac{(4-5x)^8}{40}+C} \]

\[ \boxed{\text{г) }F(x)=-\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)+C} \]

345. Графиги \(M\) чекити аркылуу өтүүчү баштапкы функцияны табалы

Баштапкы функцияны:

\[ F(x)=\int f(x)\,dx+C \]

түрүндө табабыз. Андан кийин берилген \(M(x_0;y_0)\) чекити үчүн

\[ F(x_0)=y_0 \]

шартын колдонуп, \(C\) туруктуусун аныктайбыз.

---

а) \(\displaystyle f(x)=4x+\frac1{x^2},\quad M(-1;4)\)

Алгач интегралдайбыз:

\[ F(x)=\int\left(4x+\frac1{x^2}\right)dx. \]

\[ \int4x\,dx=2x^2, \]

\[ \frac1{x^2}=x^{-2},\qquad \int x^{-2}dx=-x^{-1}=-\frac1x. \]

Демек,

\[ F(x)=2x^2-\frac1x+C. \]

Эми \(M(-1;4)\) чекитин коёбуз:

\[ F(-1)=4. \]

\[ 2\cdot(-1)^2-\frac1{-1}+C=4, \]

\[ 2+1+C=4, \]

\[ C=1. \]

\[ \boxed{F(x)=2x^2-\frac1x+1},\qquad x\ne0. \]

---

б) \(\displaystyle f(x)=x^3+2,\quad M(2;15)\)

\[ F(x)=\int(x^3+2)\,dx =\frac{x^4}{4}+2x+C. \]

Чекиттин координаттарын колдонобуз:

\[ F(2)=15. \]

\[ \frac{2^4}{4}+2\cdot2+C=15, \]

\[ \frac{16}{4}+4+C=15, \]

\[ 8+C=15, \]

\[ C=7. \]

Ошондуктан:

\[ \boxed{F(x)=\frac{x^4}{4}+2x+7}. \]

---

в) \(\displaystyle f(x)=1-2x,\quad M(3;2)\)

\[ F(x)=\int(1-2x)\,dx. \]

\[ \int1\,dx=x, \]

\[ \int(-2x)\,dx=-x^2. \]

Демек,

\[ F(x)=x-x^2+C. \]

Эми \(F(3)=2\):

\[ 3-3^2+C=2, \]

\[ 3-9+C=2, \]

\[ -6+C=2, \]

\[ C=8. \]

\[ \boxed{F(x)=x-x^2+8}. \]

---

г) \(\displaystyle f(x)=\frac1{x^3}-10x^4+3,\quad M(1;5)\)

\[ F(x)=\int\left(\frac1{x^3}-10x^4+3\right)dx. \]

\[ \frac1{x^3}=x^{-3}, \]

\[ \int x^{-3}dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac1{2x^2}. \]

Андан ары:

\[ \int(-10x^4)dx=-2x^5, \]

\[ \int3\,dx=3x. \]

Демек,

\[ F(x)=-\frac1{2x^2}-2x^5+3x+C. \]

\(F(1)=5\) шартын колдонобуз:

\[ -\frac1{2\cdot1^2}-2\cdot1^5+3\cdot1+C=5, \]

\[ -\frac12-2+3+C=5, \]

\[ \frac12+C=5, \]

\[ C=\frac92. \]

Ошондуктан:

\[ \boxed{F(x)=-\frac1{2x^2}-2x^5+3x+\frac92},\qquad x\ne0. \]

---

Жооптор:

\[ \boxed{\text{а) }F(x)=2x^2-\frac1x+1} \]

\[ \boxed{\text{б) }F(x)=\frac{x^4}{4}+2x+7} \]

\[ \boxed{\text{в) }F(x)=x-x^2+8} \]

\[ \boxed{\text{г) }F(x)=-\frac1{2x^2}-2x^5+3x+\frac92} \]