Реши 1 выриант
Краткий ответ — вариант 1
а) \(\displaystyle \frac{2a}{7b}\);
б) \(\displaystyle \frac{3}{x+4}\);
в) \(\displaystyle \frac{y-z}{2}\).а) \(\displaystyle \frac{-x^2+18x-3}{3x^2}\);
б) \(\displaystyle \frac{2b}{4a^2-b^2}\);
в) \(\displaystyle \frac{2}{c(c+3)}\).\(\boxed{25}\)
\(\displaystyle -\frac{6}{x(x+3)}\).
Решение
1. Сократите дробь
а)
\[ \frac{14a^4b}{49a^3b^2} =\frac{2a}{7b}. \]
Сократили \(14a^3b\).
б)
\[ \frac{3x}{x^2+4x} =\frac{3x}{x(x+4)} =\frac{3}{x+4}. \]
в) Используем разность квадратов:
\[ y^2-z^2=(y-z)(y+z). \]
Тогда
\[ \frac{y^2-z^2}{2y+2z} =\frac{(y-z)(y+z)}{2(y+z)} =\frac{y-z}{2}. \]
2. Представьте в виде одной дроби
а) Общий знаменатель — \(3x^2\):
\[ \frac{3x-1}{x^2}-\frac{x-9}{3x} = \frac{3(3x-1)-x(x-9)}{3x^2}. \]
Раскроем скобки:
\[ \frac{9x-3-x^2+9x}{3x^2} = \boxed{\frac{-x^2+18x-3}{3x^2}}. \]
б)
\[ \frac1{2a-b}-\frac1{2a+b} = \frac{(2a+b)-(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)}. \]
\[ \frac{2b}{(2a)^2-b^2} = \boxed{\frac{2b}{4a^2-b^2}}. \]
в) Сначала разложим знаменатель:
\[ c^2+3c=c(c+3). \]
\[ \frac5{c+3}-\frac{5c-2}{c(c+3)} = \frac{5c-(5c-2)}{c(c+3)} = \boxed{\frac2{c(c+3)}}. \]
3. Найдите значение выражения
\[ \frac{a^2-b}{a}-a,\qquad a=0{,}2,\quad b=-5. \]
Подставим значения:
\[ \frac{0{,}2^2-(-5)}{0{,}2}-0{,}2 = \frac{0{,}04+5}{0{,}2}-0{,}2. \]
\[ \frac{5{,}04}{0{,}2}-0{,}2 =25{,}2-0{,}2 =\boxed{25}. \]
4. Упростите выражение
\[ \frac3{x-3}-\frac{x+15}{x^2-9}-\frac2x. \]
Разложим разность квадратов:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]
Общий знаменатель:
\[ x(x-3)(x+3). \]
\[ \frac{3x(x+3)-x(x+15)-2(x-3)(x+3)} {x(x-3)(x+3)}. \]
Раскроем скобки:
\[ \frac{3x^2+9x-x^2-15x-2x^2+18} {x(x-3)(x+3)}. \]
\[ \frac{-6x+18}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-6(x-3)}{x(x-3)(x+3)}. \]
Сокращаем \(x-3\):
\[ \boxed{-\frac6{x(x+3)}}. \]
Ограничения: \(x\ne0,\;x\ne3,\;x\ne-3\).
Обсуждение
2 сообщенияПолностью разобрать
Разберём вариант 1 полностью и пошагово.
1. Сократите дроби
а)
\[ \frac{14a^4b}{49a^3b^2} \]
Разложим числовые коэффициенты и степени:
\[ \frac{14}{49}\cdot\frac{a^4}{a^3}\cdot\frac{b}{b^2}. \]
Сокращаем:
\[ \frac{14}{49}=\frac27,\qquad \frac{a^4}{a^3}=a,\qquad \frac{b}{b^2}=\frac1b. \]
Получаем:
\[ \boxed{\frac{2a}{7b}}. \]
Ограничения: \(a\ne0,\ b\ne0\).
б)
\[ \frac{3x}{x^2+4x} \]
В знаменателе вынесем \(x\) за скобки:
\[ x^2+4x=x(x+4). \]
Тогда:
\[ \frac{3x}{x(x+4)}. \]
Сокращаем общий множитель \(x\):
\[ \boxed{\frac3{x+4}}. \]
Ограничения:
\[ x\ne0,\qquad x+4\ne0,\quad x\ne-4. \]
в)
\[ \frac{y^2-z^2}{2y+2z} \]
В числителе применяем формулу разности квадратов:
\[ y^2-z^2=(y-z)(y+z). \]
В знаменателе выносим \(2\):
\[ 2y+2z=2(y+z). \]
Получаем:
\[ \frac{(y-z)(y+z)}{2(y+z)}. \]
Сокращаем множитель \(y+z\):
\[ \boxed{\frac{y-z}{2}}. \]
Ограничение:
\[ y+z\ne0. \]
2. Представьте выражение в виде одной дроби
а)
\[ \frac{3x-1}{x^2}-\frac{x-9}{3x} \]
Знаменатели:
\[ x^2 \quad\text{и}\quad 3x. \]
Общий знаменатель:
\[ 3x^2. \]
Первую дробь домножаем на \(3\), вторую — на \(x\):
\[ \frac{3x-1}{x^2} -\frac{x-9}{3x} = \frac{3(3x-1)-x(x-9)}{3x^2}. \]
Раскрываем скобки:
\[ 3(3x-1)=9x-3, \]
\[ x(x-9)=x^2-9x. \]
Тогда:
\[ \frac{9x-3-(x^2-9x)}{3x^2}. \]
Перед скобками стоит знак «минус», поэтому знаки внутри скобок меняются:
\[ \frac{9x-3-x^2+9x}{3x^2}. \]
Приводим подобные слагаемые:
\[ 9x+9x=18x. \]
Получаем:
\[ \boxed{\frac{-x^2+18x-3}{3x^2}}. \]
Ограничение:
\[ x\ne0. \]
б)
\[ \frac1{2a-b}-\frac1{2a+b} \]
Общий знаменатель:
\[ (2a-b)(2a+b). \]
В числителе получаем:
\[ (2a+b)-(2a-b). \]
Раскрываем скобки:
\[ 2a+b-2a+b=2b. \]
Поэтому:
\[ \frac1{2a-b}-\frac1{2a+b} = \frac{2b}{(2a-b)(2a+b)}. \]
Применяем формулу разности квадратов:
\[ (2a-b)(2a+b)=(2a)^2-b^2=4a^2-b^2. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{2b}{4a^2-b^2}}. \]
Ограничения:
\[ 2a-b\ne0,\qquad 2a+b\ne0. \]
в)
\[ \frac5{c+3}-\frac{5c-2}{c(c+3)} \]
Общий знаменатель:
\[ c(c+3). \]
Первую дробь домножаем на \(c\):
\[ \frac5{c+3} = \frac{5c}{c(c+3)}. \]
Теперь вычитаем:
\[ \frac{5c}{c(c+3)} - \frac{5c-2}{c(c+3)} = \frac{5c-(5c-2)}{c(c+3)}. \]
Раскрываем скобки:
\[ 5c-5c+2=2. \]
Получаем:
\[ \boxed{\frac2{c(c+3)}}. \]
Ограничения:
\[ c\ne0,\qquad c\ne-3. \]
3. Найдите значение выражения
\[ \frac{a^2-b}{a}-a, \qquad a=0{,}2,\quad b=-5. \]
Шаг 1. Подставим значения
\[ \frac{0{,}2^2-(-5)}{0{,}2}-0{,}2. \]
Шаг 2. Возведём \(0{,}2\) в квадрат
\[ 0{,}2^2=0{,}04. \]
Тогда:
\[ \frac{0{,}04+5}{0{,}2}-0{,}2. \]
Шаг 3. Выполним сложение в числителе
\[ 0{,}04+5=5{,}04. \]
Получаем:
\[ \frac{5{,}04}{0{,}2}-0{,}2. \]
Шаг 4. Выполним деление
\[ 5{,}04:0{,}2=25{,}2. \]
Тогда:
\[ 25{,}2-0{,}2=25. \]
Ответ:
\[ \boxed{25}. \]
4. Упростите выражение
\[ \frac3{x-3}-\frac{x+15}{x^2-9}-\frac2x. \]
Шаг 1. Разложим знаменатель
Во второй дроби используется разность квадратов:
\[ x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3). \]
Выражение принимает вид:
\[ \frac3{x-3} -\frac{x+15}{(x-3)(x+3)} -\frac2x. \]
Шаг 2. Найдём общий знаменатель
Общий знаменатель:
\[ x(x-3)(x+3). \]
Шаг 3. Приведём все дроби к общему знаменателю
Для первой дроби недостаёт множителя \(x(x+3)\):
\[ \frac3{x-3} = \frac{3x(x+3)}{x(x-3)(x+3)}. \]
Для второй дроби недостаёт множителя \(x\):
\[ -\frac{x+15}{(x-3)(x+3)} = -\frac{x(x+15)}{x(x-3)(x+3)}. \]
Для третьей дроби недостаёт множителя \((x-3)(x+3)\):
\[ -\frac2x = -\frac{2(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)}. \]
Теперь объединяем:
\[ \frac{3x(x+3)-x(x+15)-2(x-3)(x+3)} {x(x-3)(x+3)}. \]
Шаг 4. Раскроем скобки
\[ 3x(x+3)=3x^2+9x, \]
\[ x(x+15)=x^2+15x, \]
\[ (x-3)(x+3)=x^2-9. \]
Тогда числитель:
\[ 3x^2+9x-(x^2+15x)-2(x^2-9). \]
Раскрываем скобки:
\[ 3x^2+9x-x^2-15x-2x^2+18. \]
Приводим подобные слагаемые:
\[ 3x^2-x^2-2x^2=0, \]
\[ 9x-15x=-6x. \]
Получаем:
\[ \frac{-6x+18}{x(x-3)(x+3)}. \]
Шаг 5. Вынесем общий множитель
\[ -6x+18=-6(x-3). \]
Следовательно:
\[ \frac{-6(x-3)}{x(x-3)(x+3)}. \]
Сокращаем множитель \(x-3\):
\[ \boxed{-\frac6{x(x+3)}}. \]
Ограничения исходного выражения:
\[ x\ne0,\qquad x\ne3,\qquad x\ne-3. \]
Итоговые ответы
\[ \boxed{1а)\ \frac{2a}{7b}} \]
\[ \boxed{1б)\ \frac3{x+4}} \]
\[ \boxed{1в)\ \frac{y-z}{2}} \]
\[ \boxed{2а)\ \frac{-x^2+18x-3}{3x^2}} \]
\[ \boxed{2б)\ \frac{2b}{4a^2-b^2}} \]
\[ \boxed{2в)\ \frac2{c(c+3)}} \]
\[ \boxed{3)\ 25} \]
\[ \boxed{4)\ -\frac6{x(x+3)}}. \]
