Реши задание на изображении
Краткие ответы
\(y=x^3-21x+11\): точка локального минимума
\[ \boxed{\left(\sqrt7;\,11-14\sqrt7\right)} \] Абсцисса точки минимума: \(\boxed{x=\sqrt7}\).Наибольшее значение функции на \([0;3]\):
\[ \boxed{9} \]Наибольшее значение функции на \([-4;0]\):
\[ \boxed{44} \]Наименьшее значение функции на \([2;25]\):
\[ \boxed{-31} \]
Решение
№1
\[ y=x^3-21x+11 \]
Находим производную:
\[ y'=3x^2-21=3(x^2-7) \]
Критические точки:
\[ 3(x^2-7)=0 \Rightarrow x=\pm\sqrt7 \]
При \(x=-\sqrt7\) функция имеет максимум, а при \(x=\sqrt7\) — минимум.
Найдём значение функции:
\[ y(\sqrt7)=(\sqrt7)^3-21\sqrt7+11 \]
\[ y(\sqrt7)=7\sqrt7-21\sqrt7+11=11-14\sqrt7 \]
Следовательно, точка минимума:
\[ \boxed{\left(\sqrt7;\,11-14\sqrt7\right)} \]
№2
\[ y=x^3-6x^2+9x+5,\qquad x\in[0;3] \]
\[ y'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3) \]
Проверяем значения в концах отрезка и критической точке \(x=1\):
\[ y(0)=5 \]
\[ y(1)=1-6+9+5=9 \]
\[ y(3)=27-54+27+5=5 \]
Наибольшее значение:
\[ \boxed{9} \]
№3
\[ y=x^5+20x^3-65x,\qquad x\in[-4;0] \]
\[ y'=5x^4+60x^2-65 \]
Разложим на множители:
\[ y'=5(x^2-1)(x^2+13) \]
Критические точки:
\[ x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm1 \]
На отрезке \([-4;0]\) находится только \(x=-1\).
Вычислим значения:
\[ y(-4)=-2044 \]
\[ y(-1)=-1-20+65=44 \]
\[ y(0)=0 \]
Наибольшее значение:
\[ \boxed{44} \]
№4
\[ y=x\sqrt{x}-6x+1,\qquad x\in[2;25] \]
Запишем \(x\sqrt{x}=x^{3/2}\). Тогда:
\[ y'=\frac32\sqrt{x}-6 \]
Найдём критическую точку:
\[ \frac32\sqrt{x}-6=0 \]
\[ \sqrt{x}=4 \Rightarrow x=16 \]
Проверим значения:
\[ y(2)=2\sqrt2-11 \]
\[ y(16)=16\cdot4-96+1=-31 \]
\[ y(25)=25\cdot5-150+1=-24 \]
Наименьшее значение:
\[ \boxed{-31} \]
