Реши

Пришли, пожалуйста, фото или текст заданий Q40.7–Q40.12 — в чате нет их условий.

Это продолжение текущего задания: на фото видны Q40.7–Q40.12.

Q40.7

а)
\[ 3^{x^2-4,5}\cdot\sqrt3=3^{-3} \] \[ 3^{x^2-4}=3^{-3} \] \[ x^2-4=-3,\qquad x^2=1 \] \[ \boxed{x=\pm1} \]

б)
\[ 0,5^{x^2-5,5}\cdot\sqrt{0,5}=32 \] Так как \(32=0,5^{-5}\), получаем: \[ 0,5^{x^2-5}=0,5^{-5} \] \[ x^2=0 \] \[ \boxed{x=0} \]

в)
\[ \sqrt{2^{-1}}\cdot2^{x^2-7,5}=2^{-7} \] \[ 2^{-\frac12+x^2-7,5}=2^{-7} \] \[ x^2-8=-7,\qquad x^2=1 \] \[ \boxed{x=\pm1} \]

г)
\[ 0,1^{x^2-0,5}\cdot\sqrt{0,1}=0,001 \] \[ 0,1^{x^2}=0,1^3 \] \[ x^2=3 \] \[ \boxed{x=\pm\sqrt3} \]

Q40.8

а)
\[ 2^x\left(\frac32\right)^x=3^x=\frac19=3^{-2} \] \[ \boxed{x=-2} \]

б)
\[ \left(\frac15\right)^x3^x=\left(\frac35\right)^x \] \[ \sqrt{\frac{27}{125}} =\sqrt{\left(\frac35\right)^3} =\left(\frac35\right)^{\frac32} \] \[ \boxed{x=\frac32} \]

в)
\[ 5^x\cdot2^x=10^x \] \[ 0,1^{-8}=(10^{-1})^{-8}=10^8 \] \[ \boxed{x=8} \]

г)
\[ 0,3^x\cdot3^x=0,9^x \] \[ \sqrt[3]{0,81} =\sqrt[3]{0,9^2} =0,9^{\frac23} \] \[ \boxed{x=\frac23} \]

Q40.9

а)
\[ (\sqrt{12})^x(\sqrt3)^x=6^x=\frac16=6^{-1} \] \[ \boxed{x=-1} \]

б)
\[ \left(\frac{\sqrt[3]3}{3}\right)^{2x} \left(\frac{\sqrt[3]9}{3}\right)^{2x}=243 \] \[ \left(\frac{\sqrt[3]3\cdot\sqrt[3]9}{9}\right)^{2x} =\left(\frac13\right)^{2x}=3^5 \] \[ 3^{-2x}=3^5 \] \[ \boxed{x=-\frac52} \]

Q40.10

а)
Пусть \[ a=\frac{\sqrt{10}}3. \] Тогда \[ 0,81=a^{-4}. \] Следовательно: \[ a^{3x^2-3}=a^{8x} \] \[ 3x^2-3=8x \] \[ 3x^2-8x-3=0 \] \[ \boxed{x=3;\quad x=-\frac13} \]

б)
Пусть \[ a=\frac{\sqrt[4]2}{\sqrt3}. \] Так как \[ 20,25=\frac{81}{4}=a^{-8}, \] то \[ a^{x^2+4}=a^{-8x-8} \] \[ x^2+4=-8x-8 \] \[ x^2+8x+12=0 \] \[ \boxed{x=-2;\quad x=-6} \]

Q40.11

а)
\[ \sqrt{625}\cdot\sqrt{5^{14x-9}} =\sqrt[6]{125\cdot5^{6x-12}} \] \[ 5^2\cdot5^{\frac{14x-9}{2}} =5^{\frac{3+6x-12}{6}} \] \[ \frac{14x-5}{2}=x-\frac32 \] \[ \boxed{x=\frac16} \]

б)
\[ \sqrt[3]{0,2}\cdot\sqrt{0,2^{\,2x-\frac13}} =\sqrt[3]{0,04^{-3x+6}} \] Представим всё через основание \(0,2\): \[ 0,2^{\frac13}\cdot0,2^{x-\frac16} =0,2^{-2x+4} \] \[ x+\frac16=-2x+4 \] \[ \boxed{x=\frac{23}{18}} \]

Q40.12

а)
\[ 27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}} \] \[ 3^{3\sqrt{x-1}}=3^{x+1} \] \[ 3\sqrt{x-1}=x+1 \] Пусть \(t=\sqrt{x-1}\), тогда \(x=t^2+1\): \[ 3t=t^2+2 \] \[ t^2-3t+2=0 \] \[ t=1\quad\text{или}\quad t=2 \] \[ \boxed{x=2;\quad x=5} \]

б)
\[ 3^x\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243 \] \[ 3^{x-\sqrt{x+1}}=3^5 \] \[ x-\sqrt{x+1}=5 \] Пусть \(t=\sqrt{x+1}\), тогда \(x=t^2-1\): \[ t^2-t-6=0 \] \[ t=3 \] \[ \boxed{x=8} \]

Ответы

\[ \boxed{ \begin{aligned} &40.7:\quad \text{а) } \pm1;\ \text{б) }0;\ \text{в) }\pm1;\ \text{г) }\pm\sqrt3;\\ &40.8:\quad \text{а) }-2;\ \text{б) }\frac32;\ \text{в) }8;\ \text{г) }\frac23;\\ &40.9:\quad \text{а) }-1;\ \text{б) }-\frac52;\\ &40.10:\quad \text{а) }3,-\frac13;\ \text{б) }-2,-6;\\ &40.11:\quad \text{а) }\frac16;\ \text{б) }\frac{23}{18};\\ &40.12:\quad \text{а) }2,5;\ \text{б) }8. \end{aligned}} \]