На фото видны задачи 4–6. Решим все.

Краткие ответы

Задача 4:

1. \(P=0{,}0768\);
2. \(P=0{,}08704\);
3. \(P=0{,}92224\).

Задача 5:

\[ M(X)=3{,}9,\qquad D(X)=0{,}89,\qquad \sigma(X)=\sqrt{0{,}89}\approx0{,}943. \]

Задача 6:

\[ P(X<2)=\frac4{25}=0{,}16, \]

\[ P(1<X<6)=\frac{24}{25}=0{,}96, \]

\[ f(x)= \begin{cases} 0,&x\le 0,\\[2mm] \dfrac{2x}{25},&0<x<5,\\[2mm] 0,&x\ge 5, \end{cases} \]

\[ M(X)=\frac{10}{3},\qquad D(X)=\frac{25}{18},\qquad \sigma(X)=\frac{5\sqrt2}{6}\approx1{,}18. \]

---

Задача 4

По мишени производится \(5\) выстрелов, вероятность попадания:

\[ p=0{,}4,\qquad q=1-p=0{,}6. \]

Используем формулу Бернулли:

\[ P_n(k)=C_n^k p^kq^{n-k}. \]

1) Ровно 4 попадания

\[ P_5(4)=C_5^4\cdot0{,}4^4\cdot0{,}6 \]

\[ P_5(4)=5\cdot0{,}0256\cdot0{,}6=0{,}0768. \]

2) Не менее 4 попаданий

Это 4 или 5 попаданий:

\[ P(X\ge4)=P(X=4)+P(X=5). \]

\[ P(X=5)=0{,}4^5=0{,}01024. \]

Следовательно,

\[ P(X\ge4)=0{,}0768+0{,}01024=0{,}08704. \]

3) Хотя бы одно попадание

Удобнее найти противоположное событие — ни одного попадания:

\[ P(X\ge1)=1-P(X=0). \]

\[ P(X=0)=0{,}6^5=0{,}07776. \]

\[ P(X\ge1)=1-0{,}07776=0{,}92224. \]

---

Задача 5

Дано распределение:

\[ \begin{array}{c|cccc} x_i&2&3&4&5\\ \hline p_i&0{,}1&0{,}2&0{,}4&0{,}3 \end{array} \]

Проверка:

\[ 0{,}1+0{,}2+0{,}4+0{,}3=1. \]

1) Многоугольник распределения

На координатной плоскости нужно отметить точки

\[ (2;0{,}1),\quad (3;0{,}2),\quad (4;0{,}4),\quad (5;0{,}3) \]

и соединить их отрезками.

2) Математическое ожидание

\[ M(X)=\sum x_ip_i. \]

\[ M(X)=2\cdot0{,}1+3\cdot0{,}2+ 4\cdot0{,}4+5\cdot0{,}3 \]

\[ M(X)=0{,}2+0{,}6+1{,}6+1{,}5=3{,}9. \]

3) Дисперсия

Сначала найдём \(M(X^2)\):

\[ M(X^2)=\sum x_i^2p_i. \]

\[ M(X^2)=2^2\cdot0{,}1+3^2\cdot0{,}2+ 4^2\cdot0{,}4+5^2\cdot0{,}3 \]

\[ M(X^2)=0{,}4+1{,}8+6{,}4+7{,}5=16{,}1. \]

Тогда

\[ D(X)=M(X^2)-[M(X)]^2 \]

\[ D(X)=16{,}1-3{,}9^2=16{,}1-15{,}21=0{,}89. \]

4) Среднее квадратическое отклонение

\[ \sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{0{,}89}\approx0{,}943. \]

---

Задача 6

Дана функция распределения:

\[ F(x)= \begin{cases} 0,&x\le0,\\[1mm] \dfrac{x^2}{25},&0<x\le5,\\[2mm] 1,&x>5. \end{cases} \]

1) Найти \(P(X<2)\)

Так как распределение непрерывное,

\[ P(X<2)=F(2). \]

\[ P(X<2)=\frac{2^2}{25}=\frac4{25}=0{,}16. \]

2) Найти \(P(1<X<6)\)

Используем формулу:

\[ P(a<X<b)=F(b)-F(a). \]

Так как \(F(6)=1\), а

\[ F(1)=\frac{1^2}{25}=\frac1{25}, \]

получаем:

\[ P(1<X<6)=1-\frac1{25} =\frac{24}{25}=0{,}96. \]

3) Плотность распределения \(f(x)\)

Плотность — это производная функции распределения:

\[ f(x)=F'(x). \]

Для среднего участка:

\[ \left(\frac{x^2}{25}\right)'=\frac{2x}{25}. \]

Поэтому

\[ f(x)= \begin{cases} 0,&x\le0,\\[2mm] \dfrac{2x}{25},&0<x<5,\\[2mm] 0,&x\ge5. \end{cases} \]

4) Математическое ожидание

\[ M(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx. \]

Здесь плотность отлична от нуля только на \((0;5)\):

\[ M(X)=\int_0^5x\cdot\frac{2x}{25}\,dx =\frac2{25}\int_0^5x^2\,dx. \]

\[ M(X)=\frac2{25}\cdot\frac{5^3}{3} =\frac{10}{3}\approx3{,}33. \]

5) Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Сначала найдём второй начальный момент:

\[ M(X^2)=\int_0^5x^2\cdot\frac{2x}{25}\,dx. \]

\[ M(X^2)=\frac2{25}\int_0^5x^3\,dx =\frac2{25}\cdot\frac{5^4}{4} =\frac{25}{2}. \]

Тогда

\[ D(X)=M(X^2)-[M(X)]^2 \]

\[ D(X)=\frac{25}{2}-\left(\frac{10}{3}\right)^2 =\frac{25}{2}-\frac{100}{9} =\frac{25}{18}. \]

Среднее квадратическое отклонение:

\[ \sigma(X)=\sqrt{\frac{25}{18}} =\frac{5}{3\sqrt2} =\frac{5\sqrt2}{6}\approx1{,}18. \]

6) Графики

• \(F(x)=0\) при \(x\le0\) — горизонтальная прямая \(y=0\);
• \(F(x)=\dfrac{x^2}{25}\) при \(0<x\le5\) — часть параболы от точки \((0;0)\) до \((5;1)\);
• \(F(x)=1\) при \(x>5\) — горизонтальная прямая \(y=1\).

Для плотности:

• \(f(x)=0\) вне отрезка \((0;5)\);
• на \((0;5)\) график — прямая

\[ y=\frac{2x}{25}, \]

идущая от \((0;0)\) до \((5;0{,}4)\).