Реши задание на изображении

Краткий ответ

• 040.7: а) \(x=\pm1\); б) \(x=0\); в) \(x=\pm1\); г) \(x=\pm\sqrt3\).
• 040.8: а) \(x=-2\); б) \(x=\dfrac32\); в) \(x=3\); г) \(x=\dfrac23\).
• 040.9: а) \(x=-1\); б) \(x=\dfrac52\).

Используем свойства степеней: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^x b^x=(ab)^x. \]

040.7

а) \[ 3^{x^2-4{,}5}\cdot\sqrt3 =3^{x^2-4{,}5}\cdot3^{0{,}5} =3^{x^2-4}. \] Так как \[ \frac1{27}=3^{-3}, \] то \[ x^2-4=-3,\qquad x^2=1. \] \[ \boxed{x=\pm1} \]

б) \[ 0{,}5^{x^2-5{,}5}\cdot\sqrt{0{,}5} =0{,}5^{x^2-5}. \] Кроме того, \[ 32=0{,}5^{-5}. \] Значит, \[ x^2-5=-5,\qquad x^2=0. \] \[ \boxed{x=0} \]

в) \[ \sqrt{2^{-1}}=2^{-\frac12}, \] поэтому \[ 2^{-\frac12}\cdot2^{x^2-7{,}5} =2^{x^2-8}. \] Так как \[ \frac1{128}=2^{-7}, \] получаем \[ x^2-8=-7,\qquad x^2=1. \] \[ \boxed{x=\pm1} \]

г) \[ 0{,}1^{x^2-0{,}5}\cdot\sqrt{0{,}1} =0{,}1^{x^2-0{,}5}\cdot0{,}1^{0{,}5} =0{,}1^{x^2}. \] Поскольку \[ 0{,}001=0{,}1^3, \] то \[ x^2=3. \] \[ \boxed{x=\pm\sqrt3} \]

040.8

а) \[ 2^x\left(\frac32\right)^x =\left(2\cdot\frac32\right)^x =3^x. \] \[ \frac19=3^{-2}\quad\Rightarrow\quad \boxed{x=-2}. \]

б) \[ \left(\frac15\right)^x\cdot3^x =\left(\frac35\right)^x. \] \[ \sqrt{\frac{27}{125}} =\sqrt{\left(\frac35\right)^3} =\left(\frac35\right)^{\frac32}. \] Следовательно, \[ \boxed{x=\frac32}. \]

в) \[ 5^x\cdot2^x=10^x, \] а \[ 0{,}1^{-3}=(10^{-1})^{-3}=10^3. \] Значит, \[ \boxed{x=3}. \]

г) \[ 0{,}3^x\cdot3^x=(0{,}9)^x. \] \[ \sqrt[3]{0{,}81} =\sqrt[3]{0{,}9^2} =(0{,}9)^{\frac23}. \] Отсюда \[ \boxed{x=\frac23}. \]

040.9

а) \[ (\sqrt{12})^x(\sqrt3)^x =(\sqrt{12}\cdot\sqrt3)^x =(\sqrt{36})^x =6^x. \] Так как \[ \frac16=6^{-1}, \] то \[ \boxed{x=-1}. \]

б) \[ \left(\sqrt[3]{3}\right)^{2x} \left(\sqrt[3]{9}\right)^{2x} =\left(\sqrt[3]{27}\right)^{2x} =3^{2x}. \] \[ 243=3^5, \] поэтому \[ 2x=5,\qquad \boxed{x=\frac52}. \]

Проверка выполнена сравнением одинаковых оснований и их показателей: после подстановки получаются исходные равенства.