Реши задание на изображении
Краткий ответ
- Выполнить действия:
а) \((5-12i)(3+4i)=63-16i\)
б) \((4+3i)+(2-i)=6+2i\)
в) \((7-3i)-(2i+1)=6-5i\)
г) \(\displaystyle \frac{4i}{5-2i}=-\frac{8}{29}+\frac{20}{29}i\)
- Точки на комплексной плоскости:
- \(z=2 \rightarrow (2;0)\);
- \(z=3i \rightarrow (0;3)\);
- \(z=2+3i \rightarrow (2;3)\).
- \(\boxed{x_1=-1+3i,\quad x_2=-1-3i}\).
Решение
Используем свойство:
\[ i^2=-1. \]
1а)
\[ \begin{aligned} (5-12i)(3+4i) &=15+20i-36i-48i^2\\ &=15-16i+48\\ &=\boxed{63-16i}. \end{aligned} \]
1б)
Складываем отдельно действительные и мнимые части:
\[ (4+3i)+(2-i)=(4+2)+(3i-i)=\boxed{6+2i}. \]
1в)
Перед скобками стоит знак «минус», поэтому знаки внутри второй скобки меняются:
\[ \begin{aligned} (7-3i)-(2i+1) &=7-3i-2i-1\\ &=\boxed{6-5i}. \end{aligned} \]
1г)
Чтобы избавиться от мнимости в знаменателе, умножаем на сопряжённое число \(5+2i\):
\[ \begin{aligned} \frac{4i}{5-2i} &=\frac{4i(5+2i)}{(5-2i)(5+2i)}\\ &=\frac{20i+8i^2}{25-4i^2}\\ &=\frac{-8+20i}{29}\\ &=\boxed{-\frac{8}{29}+\frac{20}{29}i}. \end{aligned} \]
2. Изображение чисел
Число \(z=a+bi\) изображается точкой \((a;b)\), где:
- \(a\) — координата по действительной оси;
- \(b\) — координата по мнимой оси.
Поэтому:
\[ 2=2+0i \rightarrow (2;0), \]
\[ 3i=0+3i \rightarrow (0;3), \]
\[ 2+3i \rightarrow (2;3). \]
3. Квадратное уравнение
\[ x^2+2x+10=0. \]
Дискриминант:
\[ D=2^2-4\cdot1\cdot10=4-40=-36. \]
Так как \(D<0\), корни комплексные:
\[ \begin{aligned} x_{1,2} &=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{2}\\ &=\frac{-2\pm6i}{2}\\ &=\boxed{-1\pm3i}. \end{aligned} \]
Проверка: сумма корней \(-1+3i+(-1-3i)=-2\), произведение равно \(10\), значит корни найдены верно.
