Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(\displaystyle \frac{\pi}{6}-1\)
2. а) \(f(x)>0\) на \((-\infty;-1)\) и \((1;6)\); \(f(x)<0\) на \((-1;1)\) и \((6;+\infty)\).
   б) убывает на \((-\infty;0)\) и \((4;+\infty)\), возрастает на \((0;4)\).
3. График \(y=2+\cos x\) — косинусоида с осью колебаний \(y=2\), периодом \(2\pi\) и значениями от \(1\) до \(3\).
4. \(\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\)
5. \(\displaystyle \frac{2\sqrt2}{3}\)
6. \(\displaystyle y=-x^2+6\)

Решение

1. Используем главные значения обратных тригонометрических функций: \[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4},\qquad \arctg(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3},\qquad \arccos 0=\frac{\pi}{2}. \] Также \(\sin270^\circ=-1\). Тогда \[ 2\left(-\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{3} +2\cdot\frac{\pi}{2}-1 =\frac{\pi}{6}-1. \]

2. По графику нули функции: \(x=-1,\ 1,\ 6\). Между соседними нулями знак не меняется, поэтому:

• график выше оси \(x\) при \(x\in(-\infty;-1)\) и \(x\in(1;6)\);
• ниже оси \(x\) при \(x\in(-1;1)\) и \(x\in(6;+\infty)\).

Минимум графика находится примерно при \(x=0\), максимум — при \(x=4\). Поэтому функция убывает до минимума, возрастает до максимума, затем снова убывает.

3. Это график \(y=\cos x\), сдвинутый вверх на \(2\). Для построения отметь точки: \[ (0;3),\quad \left(\frac{\pi}{2};2\right),\quad (\pi;1),\quad \left(\frac{3\pi}{2};2\right),\quad (2\pi;3), \] затем плавно соедини их косинусоидой. График повторяется с периодом \(2\pi\).

4. \[ \arctg\sqrt3=\frac{\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad \sin(\arctg\sqrt3)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}. \]

5. Пусть \(\alpha=\arcsin\frac13\). Тогда \(\sin\alpha=\frac13\), а \(\alpha\) лежит в промежутке, где косинус неотрицателен. Значит, \[ \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\frac19} =\frac{2\sqrt2}{3}. \]

6. Подставляем \(x-2\) вместо аргумента функции: \[ f(x-2)=-(x-2)^2-4(x-2)+2 =-x^2+6. \] Следовательно, \(\boxed{y=-x^2+6}\).