Реши 1 вариант
Краткие ответы
- \(1)\ \dfrac{\sqrt2}{2};\quad 2)\ -\dfrac12.\)
- \(\sin\alpha=\dfrac{12}{13}.\)
- \(1)\ 2\sin\alpha\cos\beta;\quad 2)\ \dfrac{1}{\sin\alpha-\cos\alpha}.\)
- \(1)\ x=\pi+2\pi k\) или \(x=4\pi k;\quad 2)\ x=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.\)
- Тождество верно.
Решение
1. Вычислить
Используем периодичность косинуса: \[ \cos765^\circ=\cos(765^\circ-720^\circ)=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}. \]
Уменьшим аргумент на \(2\pi\): \[ \sin\frac{19\pi}{6}=\sin\left(\frac{19\pi}{6}-2\pi\right) =\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12. \]
2. Найти \(\sin\alpha\)
Так как \(-6\pi<\alpha<-5\pi\), то \(0<\alpha+6\pi<\pi\). При этом \[ \cos(\alpha+6\pi)=\cos\alpha=\frac5{13}. \] В промежутке \((0,\pi)\) положительный косинус бывает в первой четверти, поэтому синус положительный: \[ \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}. \]
3. Упростить выражение
По формуле суммы синусов: \[ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta. \]
Применим формулы приведения: \[ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha. \] А знаменатель: \[ 1+2\cos(-\alpha)\sin(-\alpha) =1-2\sin\alpha\cos\alpha =(\sin\alpha-\cos\alpha)^2. \] Значит, \[ \frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2} =\frac1{\sin\alpha-\cos\alpha}. \]
4. Решить уравнения
Используем \(1+\cos x=2\cos^2\frac x2\): \[ 2\cos\frac x2=2\cos^2\frac x2 \quad\Longrightarrow\quad \cos\frac x2\left(\cos\frac x2-1\right)=0. \] Отсюда \[ \cos\frac x2=0\ \Longrightarrow\ x=\pi+2\pi k, \] или \[ \cos\frac x2=1\ \Longrightarrow\ x=4\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]
Преобразуем обе части: \[ \sin\left(\frac\pi2-3x\right)=\cos3x,\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)=-\sin2x. \] Тогда \[ \cos3x\cos2x-1=-\sin3x\sin2x, \] \[ \cos3x\cos2x+\sin3x\sin2x=1. \] По формуле косинуса разности получаем \(\cos x=1\), поэтому \[ x=2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]
5. Доказать тождество
При \(\sin\alpha\ne0\) и \(\cos\alpha\ne0\): \[ \begin{aligned} \frac12\sin4\alpha(\ctg\alpha-\tg\alpha) &=\frac12\sin4\alpha\cdot \frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\\ &=\frac12\cdot 4\sin\alpha\cos\alpha\cos2\alpha \cdot\frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\\ &=2\cos^22\alpha =1+\cos4\alpha. \end{aligned} \] Правая часть равна левой, значит, тождество доказано.
Обсуждение
2 сообщенияРеши 5
5. Докажем тождество
\[ 1+\cos4\alpha=\frac12\sin4\alpha(\operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{tg}\alpha). \]
Преобразуем правую часть. Сначала выразим котангенс и тангенс через синус и косинус: \[ \operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{tg}\alpha =\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} =\frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}. \]
По формуле двойного угла: \[ \sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha =4\sin\alpha\cos\alpha\cos2\alpha. \]
Подставим и сократим: \[ \begin{aligned} \frac12\sin4\alpha(\operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{tg}\alpha) &=\frac12\cdot4\sin\alpha\cos\alpha\cos2\alpha \cdot\frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\\ &=2\cos^22\alpha\\ &=1+\cos4\alpha. \end{aligned} \]
Получили левую часть — тождество доказано.
Оно верно при \(\sin\alpha\ne0\) и \(\cos\alpha\ne0\), то есть при \[ \alpha\ne\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb Z. \]
