Реши задание на изображении
Ответы:
- \(\lg^2x+\lg x-2<0:\quad x\in(10^{-2},10)\).
- \(\lg^2x+\lg x-6\le0:\quad x\in[10^{-3},10^2]\).
- \(\displaystyle\frac3{\lg x+\lg0{,}01}-\frac1{\lg x}\le0:\quad x\in(0,10^{-1}]\cup(1,10^2)\).
- \(\displaystyle\lg x+\frac{12}{\lg x-\lg0{,}01}\le5:\quad x\in(0,10^{-2})\cup[10,10^2]\).
Решение. Во всех неравенствах положим \(t=\lg x\). Тогда \(x>0\), а \(x=10^t\).
\[ t^2+t-2=(t+2)(t-1)<0 \quad\Longrightarrow\quad -2<t<1. \] Значит, \(10^{-2}<x<10\).
\[ t^2+t-6=(t+3)(t-2)\le0 \quad\Longrightarrow\quad -3\le t\le2. \] Значит, \(10^{-3}\le x\le10^2\).
Поскольку \(\lg0{,}01=-2\), получаем \[ \frac3{t-2}-\frac1t =\frac{2(t+1)}{t(t-2)}\le0,\qquad t\ne0,\;t\ne2. \] По таблице знаков \(t\in(-\infty,-1]\cup(0,2)\). Поэтому \[ x\in(0,10^{-1}]\cup(1,10^2). \]
\[ t+\frac{12}{t+2}\le5,\qquad t\ne-2, \] \[ \frac{(t-1)(t-2)}{t+2}\le0. \] Отсюда \(t\in(-\infty,-2)\cup[1,2]\), значит, \[ x\in(0,10^{-2})\cup[10,10^2]. \]
Границы, при которых знаменатель равен нулю, исключены; нули числителей включены там, где это допускает знак \(\le\).
Обсуждение
2 сообщениярешение к каждому и с дискриминантом
Пусть \(t=\lg x\). Тогда \(x=10^t\), причём \(x>0\). В дробных неравенствах отдельно исключаем значения, при которых знаменатель равен нулю.
1. \(\lg^2x+\lg x-2<0\)
Подставим \(t=\lg x\): \[ t^2+t-2<0. \] Находим дискриминант: \[ D=1^2-4\cdot1\cdot(-2)=9. \] Корни: \[ t_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt9}{2},\qquad t_1=-2,\quad t_2=1. \] Парабола направлена вверх, поэтому выражение меньше нуля между корнями: \[ -2<t<1. \] Возвращаемся к \(x\): \[ \boxed{10^{-2}<x<10}. \]
2. \(\lg^2x+\lg x-6\le0\)
Пусть \(t=\lg x\): \[ t^2+t-6\le0. \] Дискриминант: \[ D=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25. \] Корни: \[ t_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2},\qquad t_1=-3,\quad t_2=2. \] Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая их: \[ -3\le t\le2. \] Значит, \[ \boxed{10^{-3}\le x\le10^2}. \]
3. \(\displaystyle\frac3{\lg x+\lg0{,}01}-\frac1{\lg x}\le0\)
Так как \(\lg0{,}01=-2\), при \(t=\lg x\) получаем: \[ \frac3{t-2}-\frac1t\le0,\qquad t\ne2,\quad t\ne0. \] Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{3t-(t-2)}{t(t-2)}\le0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2t+2}{t(t-2)}\le0. \] Числитель \(2t+2\) — линейный, поэтому дискриминант для него не применяется. Он обращается в ноль при \(t=-1\). Критические точки: \(-1,\;0,\;2\). Проверяем знаки:
\[ \begin{array}{c|cccc} t&(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\ \hline \dfrac{2t+2}{t(t-2)}&-&+&-&+ \end{array} \]
Точку \(t=-1\) включаем, а \(t=0,2\) исключаем: \[ t\in(-\infty,-1]\cup(0,2). \] Следовательно, \[ \boxed{x\in(0,10^{-1}]\cup(1,10^2)}. \]
4. \(\displaystyle\lg x+\frac{12}{\lg x-\lg0{,}01}\le5\)
Так как \(\lg0{,}01=-2\), при \(t=\lg x\): \[ t+\frac{12}{t+2}\le5,\qquad t\ne-2. \] Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю: \[ t-5+\frac{12}{t+2}\le0, \] \[ \frac{(t-5)(t+2)+12}{t+2}\le0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{t^2-3t+2}{t+2}\le0. \] Найдём корни числителя с помощью дискриминанта: \[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=1, \] \[ t_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt1}{2},\qquad t_1=1,\quad t_2=2. \] Критические точки дроби: \(-2,\;1,\;2\). Точка \(t=-2\) запрещена, а \(t=1,2\) обращают дробь в ноль. По знакам дробь неположительна на \[ t\in(-\infty,-2)\cup[1,2]. \] Значит, \[ \boxed{x\in(0,10^{-2})\cup[10,10^2]}. \]
