сделай таблицу и распиши все сделать график функций
Краткий ответ: для построения каждого графика отметь точки из таблиц, проведи пунктиром вертикальную асимптоту и плавно соедини точки. Все шесть функций имеют область значений \(\mathbb R\).
Как строить логарифмические графики
Для \(y=\log_a(x-h)+k\) график \(y=\log_a x\) сдвигается на \(h\) вправо и на \(k\) вверх. Если внутри логарифма \(x+3\), график сдвигается на 3 влево.
Аргумент логарифма должен быть положительным. Поэтому граница области определения — вертикальная асимптота. При \(a>1\) график возрастает, а при \(0<a<1\) убывает.
1. \(y=\log_2(x-1)+2\)
Базовый график сдвинут на 1 вправо и на 2 вверх.
| \(x\) | \(\frac54\) | \(\frac32\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
- Область определения: \(x>1\).
- Асимптота: \(x=1\).
- График возрастает.
- Пересечение с осью \(Ox\): \(\left(\frac54;0\right)\).
2. \(y=\log_3(x-2)+1\)
Сдвиг на 2 вправо и на 1 вверх.
| \(x\) | \(\frac{19}{9}\) | \(\frac73\) | \(3\) | \(5\) | \(11\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
- Область определения: \(x>2\).
- Асимптота: \(x=2\).
- График возрастает.
- Пересечение с осью \(Ox\): \(\left(\frac73;0\right)\).
3. \(y=\log_{\frac12}(x+3)-2\)
Сдвиг на 3 влево и на 2 вниз.
| \(x\) | \(-\frac{11}{4}\) | \(-\frac52\) | \(-2\) | \(-1\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-4\) |
- Область определения: \(x>-3\).
- Асимптота: \(x=-3\).
- График убывает, так как основание \(\frac12<1\).
- Пересечение с осью \(Ox\): \(\left(-\frac{11}{4};0\right)\).
4. \(y=\log_{\frac13}(x-3)+2\)
Сдвиг на 3 вправо и на 2 вверх.
| \(x\) | \(\frac{28}{9}\) | \(\frac{10}{3}\) | \(4\) | \(6\) | \(12\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) |
- Область определения: \(x>3\).
- Асимптота: \(x=3\).
- График убывает, так как основание \(\frac13<1\).
- Пересечение с осью \(Ox\): \((12;0)\).
5. \(y=\log_2(x-2)+3\)
Сдвиг на 2 вправо и на 3 вверх.
| \(x\) | \(\frac{17}{8}\) | \(\frac94\) | \(\frac52\) | \(3\) | \(4\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
- Область определения: \(x>2\).
- Асимптота: \(x=2\).
- График возрастает.
- Пересечение с осью \(Ox\): \(\left(\frac{17}{8};0\right)\).
6. \(y=\log_3(x+1)-2\)
Сдвиг на 1 влево и на 2 вниз.
| \(x\) | \(-\frac89\) | \(-\frac23\) | \(0\) | \(2\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) |
- Область определения: \(x>-1\).
- Асимптота: \(x=-1\).
- График возрастает.
- Пересечение с осью \(Ox\): \((8;0)\).
Проверка на примере № 6: при \(x=0\) получаем \(y=\log_3(0+1)-2=\log_3 1-2=-2\). Значит, точка \((0;-2)\) в таблице верна.
При построении отметь асимптоту пунктиром, нанеси точки и проведи через них плавную кривую. К асимптоте график приближается, но не пересекает её.
Обсуждение
2 сообщениякак ты сделал таблицу распиши примеры
Таблицу составляют не случайно: выбирают такие значения \(x\), чтобы выражение под логарифмом было степенью его основания.
Основное правило:
\[ \log_a(a^k)=k. \]
Например, для функции
\[ y=\log_a(x-h)+c \]
выбираем:
\[ x-h=a^k. \]
Тогда:
\[ x=h+a^k,\qquad y=k+c. \]
Пример 1
Дана функция:
\[ y=\log_2(x-1)+2. \]
Выбираем значения:
\[ x-1=2^{-2},\;2^{-1},\;2^0,\;2^1,\;2^2. \]
Вычисляем \(x\) и \(y\):
| \(k\) | \(x-1=2^k\) | \(x\) | \(y=k+2\) |
|---|---|---|---|
| \(-2\) | \(\frac14\) | \(1+\frac14=\frac54\) | \(0\) |
| \(-1\) | \(\frac12\) | \(1+\frac12=\frac32\) | \(1\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1+1=2\) | \(2\) |
| \(1\) | \(2\) | \(1+2=3\) | \(3\) |
| \(2\) | \(4\) | \(1+4=5\) | \(4\) |
Например, первая строка:
\[ x=\frac54,\qquad y=\log_2\left(\frac54-1\right)+2 =\log_2\frac14+2=-2+2=0. \]
Получаем точку:
\[ \left(\frac54;0\right). \]
Пример 2
\[ y=\log_3(x-2)+1. \]
Выбираем:
\[ x-2=3^{-2},\;3^{-1},\;3^0,\;3^1,\;3^2. \]
| \(x-2\) | \(x\) | \(y\) |
|---|---|---|
| \(\frac19\) | \(2+\frac19=\frac{19}{9}\) | \(-2+1=-1\) |
| \(\frac13\) | \(2+\frac13=\frac73\) | \(-1+1=0\) |
| \(1\) | \(3\) | \(0+1=1\) |
| \(3\) | \(5\) | \(1+1=2\) |
| \(9\) | \(11\) | \(2+1=3\) |
Например, при \(x=5\):
\[ y=\log_3(5-2)+1=\log_3 3+1=1+1=2. \]
Точка: \((5;2)\).
Пример 3 с дробным основанием
\[ y=\log_{\frac12}(x+3)-2. \]
Здесь удобно взять:
\[ x+3=\frac14,\;\frac12,\;1,\;2,\;4. \]
Помним:
\[ \log_{\frac12}\frac14=2,\quad \log_{\frac12}\frac12=1,\quad \log_{\frac12}1=0, \]
\[ \log_{\frac12}2=-1,\quad \log_{\frac12}4=-2. \]
| \(x+3\) | \(x\) | \(\log_{\frac12}(x+3)\) | \(y\) |
|---|---|---|---|
| \(\frac14\) | \(-3+\frac14=-\frac{11}{4}\) | \(2\) | \(2-2=0\) |
| \(\frac12\) | \(-3+\frac12=-\frac52\) | \(1\) | \(1-2=-1\) |
| \(1\) | \(-2\) | \(0\) | \(-2\) |
| \(2\) | \(-1\) | \(-1\) | \(-3\) |
| \(4\) | \(1\) | \(-2\) | \(-4\) |
Например, при \(x=-1\):
\[ y=\log_{\frac12}(-1+3)-2 =\log_{\frac12}2-2=-1-2=-3. \]
Точка: \((-1;-3)\).
Остальные функции
4. \(y=\log_{\frac13}(x-3)+2\)
Выбираем:
\[ x-3=\frac19,\;\frac13,\;1,\;3,\;9. \]
| \(x\) | \(\frac{28}{9}\) | \(\frac{10}{3}\) | \(4\) | \(6\) | \(12\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) |
Например:
\[ x=6:\qquad y=\log_{\frac13}(6-3)+2 =\log_{\frac13}3+2=-1+2=1. \]
5. \(y=\log_2(x-2)+3\)
Выбираем:
\[ x-2=\frac18,\;\frac14,\;\frac12,\;1,\;2,\;4. \]
| \(x\) | \(\frac{17}{8}\) | \(\frac94\) | \(\frac52\) | \(3\) | \(4\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
Например:
\[ x=4:\qquad y=\log_2(4-2)+3=\log_2 2+3=1+3=4. \]
6. \(y=\log_3(x+1)-2\)
Выбираем:
\[ x+1=\frac19,\;\frac13,\;1,\;3,\;9. \]
| \(x\) | \(-\frac89\) | \(-\frac23\) | \(0\) | \(2\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) |
Например:
\[ x=8:\qquad y=\log_3(8+1)-2=\log_3 9-2=2-2=0. \]
Точка: \((8;0)\).
Итак, каждая строка таблицы даёт координаты одной точки графика: \((x;y)\). Затем эти точки наносят на координатную плоскость и соединяют плавной кривой.
