Построй график функции и её свойства

Краткий ответ: график состоит из отрезка прямой \(y=x+2\), части параболы \(y=x^2\) и горизонтального отрезка \(y=4\). Область определения — \([-4;5]\), область значений — \([-2;4]\).

Как построить график

Функция задана так: \[ y= \begin{cases} x+2, & -4\le x\le -1,\\ x^2, & -1<x\le 2,\\ 4, & 2\le x\le 5. \end{cases} \]

Отметь точки и соедини их соответствующими линиями:

• Прямая \(y=x+2\): от \((-4;-2)\) до \((-1;1)\). Например, она проходит через \((-2;0)\).
• Парабола \(y=x^2\): от точки, приближающейся к \((-1;1)\), через \((0;0)\) до \((2;4)\). Точка \((-1;1)\) входит в график по первой части функции.
• Горизонтальный отрезок \(y=4\): от \((2;4)\) до \((5;4)\).

Все указанные крайние точки графика закрашены. В точке \(x=2\) обе формулы дают \(y=4\).

Свойства функции

• Область определения: \(\boxed{[-4;5]}\).
• Область значений: \(\boxed{[-2;4]}\).
• Нули функции: \(x=-2\) и \(x=0\).
• \(f(x)<0\): при \(x\in[-4;-2)\).
• \(f(x)>0\): при \(x\in(-2;0)\cup(0;5]\).
• Возрастает: на \([-4;-1]\) и \([0;2]\).
• Убывает: на \([-1;0]\).
• Постоянна: на \([2;5]\).
• Наименьшее значение: \(-2\) при \(x=-4\).
• Наибольшее значение: \(4\) при \(x\in[2;5]\).

Проверка стыков: при \(x=-1\) первая формула даёт \(1\), и \(x^2\) стремится к \(1\); при \(x=2\) обе соседние формулы дают \(4\). Поэтому части графика соединяются без разрывов.