Пореши эти задачи
Ответы для пяти полностью видимых систем:
- Слева сверху вниз: \(x=-3,\ y=-4\); \(x=2,\ y=5\); решений нет.
- Справа сверху вниз: \(x=\dfrac{10}{3},\ y=\dfrac{8}{3}\); \(x=-23,\ y=-3\).
Главный принцип: решение системы должно подходить сразу к обоим уравнениям. Чтобы его найти, исключаем одну неизвестную — сложением, вычитанием или подстановкой.
1. Слева вверху
\[ \begin{cases} x-y=1,\\ x-3y=9. \end{cases} \]
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы убрать \(x\): \[ (x-3y)-(x-y)=9-1, \] \[ -2y=8 \quad\Rightarrow\quad y=-4. \]
Из первого уравнения \(x=1+y\), поэтому: \[ x=1-4=-3. \]
Проверка: \[ -3-(-4)=1,\qquad -3-3\cdot(-4)=9. \] Оба равенства верны.
2. Слева посередине
\[ \begin{cases} y-2x=1,\\ 7x-y=9. \end{cases} \]
Сложим уравнения: \(y\) и \(-y\) сократятся. \[ (y-2x)+(7x-y)=1+9, \] \[ 5x=10 \quad\Rightarrow\quad x=2. \]
Подставим в первое уравнение: \[ y-2\cdot2=1 \quad\Rightarrow\quad y=5. \]
Проверка: \[ 5-2\cdot2=1,\qquad 7\cdot2-5=9. \]
3. Слева внизу
\[ \begin{cases} x+2y=3,\\ y=-0{,}5x. \end{cases} \]
Здесь \(y\) уже выражен через \(x\). Подставим это выражение в первое уравнение: \[ x+2\cdot(-0{,}5x)=3, \] \[ x-x=3, \] \[ 0=3. \]
Получилось неверное равенство, которое невозможно ни при каком \(x\). Значит, решений нет.
4. Справа вверху
\[ \begin{cases} x+y=6,\\ 3x-3y=2. \end{cases} \]
Умножим первое уравнение на \(3\): \[ 3x+3y=18. \]
Теперь сложим его со вторым уравнением: \[ (3x+3y)+(3x-3y)=18+2, \] \[ 6x=20 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{10}{3}. \]
Из первого уравнения: \[ y=6-x=6-\frac{10}{3}=\frac{8}{3}. \]
Проверка: \[ \frac{10}{3}+\frac{8}{3}=6, \] \[ 3\cdot\frac{10}{3}-3\cdot\frac{8}{3}=10-8=2. \]
5. Справа внизу
\[ \begin{cases} y-x=20,\\ 2x-15y=-1. \end{cases} \]
Из первого уравнения выразим \(y\): \[ y=x+20. \]
Подставим во второе: \[ 2x-15(x+20)=-1. \]
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \[ 2x-15x-300=-1, \] \[ -13x=299 \quad\Rightarrow\quad x=-23. \]
Тогда: \[ y=-23+20=-3. \]
Проверка: \[ -3-(-23)=20, \] \[ 2\cdot(-23)-15\cdot(-3)=-46+45=-1. \]
