Реши задание на изображении
Краткий ответ
- \(y=x^2+4x-5\) — парабола с вершиной \((-2;-9)\), ветви направлены вверх. Пересечения с осями: \((-5;0)\), \((1;0)\), \((0;-5)\). Функция убывает на \((-\infty;-2]\), возрастает на \([-2;+\infty)\). Наименьшее значение — \(-9\), наибольшего нет.
- \(y=\dfrac3{x+1}-2\) — гипербола с асимптотами \(x=-1\) и \(y=-2\). Пересечения с осями: \(\left(\frac12;0\right)\) и \((0;1)\).
Задание 1. \(y=x^2+4x-5\)
1. Вершина параболы и направление ветвей
Выделим полный квадрат: \[ y=x^2+4x+4-4-5=(x+2)^2-9. \]
Принцип: у параболы \(y=(x-h)^2+k\) вершина находится в точке \((h;k)\).
Поэтому здесь: \[ \boxed{A(-2;-9)}. \]
Ось симметрии — прямая \(x=-2\). Коэффициент перед \(x^2\) положительный, поэтому ветви направлены вверх.
2. Пересечения с осями
С осью \(Oy\): подставляем \(x=0\): \[ y=0^2+4\cdot0-5=-5. \] Получаем точку \(\boxed{(0;-5)}\).
С осью \(Ox\): подставляем \(y=0\): \[ x^2+4x-5=0, \] \[ (x+5)(x-1)=0. \] Значит, \(x=-5\) или \(x=1\).
Получаем точки \(\boxed{(-5;0)}\) и \(\boxed{(1;0)}\).
3. Точки для построения
Подставим несколько значений \(x\) в формулу \(y=(x+2)^2-9\):
| \(x\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0\) | \(-5\) | \(-8\) | \(-9\) | \(-8\) | \(-5\) | \(0\) |
Отметь точки на координатной плоскости и соедини их плавной U-образной линией, продолжив обе ветви вверх.
Проверка: точки, одинаково удалённые от \(x=-2\), имеют одинаковые значения \(y\). Например, при \(x=-3\) и \(x=-1\) получаем \(y=-8\).
4. Возрастание, убывание и наименьшее значение
Если двигаться по графику слева направо, до вершины он идёт вниз, а после вершины — вверх. Поэтому функция:
- убывает на \((-\infty;-2]\);
- возрастает на \([-2;+\infty)\).
Поскольку \((x+2)^2\geqslant0\), имеем: \[ y=(x+2)^2-9\geqslant-9. \]
Следовательно, наименьшее значение равно \(-9\) при \(x=-2\). Наибольшего значения нет: ветви уходят вверх неограниченно.
Задание 2. \(y=\dfrac3{x+1}-2\)
1. Как получить график
Берём график \(y=\dfrac3x\) и сдвигаем его:
- на \(1\) единицу влево — получаем \(y=\dfrac3{x+1}\);
- на \(2\) единицы вниз — получаем \(y=\dfrac3{x+1}-2\).
2. Асимптоты
Знаменатель обращается в ноль при \(x=-1\). При приближении к этому числу значения функции неограниченно растут по модулю, поэтому вертикальная асимптота: \[ \boxed{x=-1}. \]
При больших по модулю \(x\) дробь \(\dfrac3{x+1}\) приближается к нулю, а \(y\) — к \(-2\). Значит, горизонтальная асимптота: \[ \boxed{y=-2}. \]
Проведи эти прямые пунктиром. Их пересечение \((-1;-2)\) — центр симметрии гиперболы.
3. Пересечения с осями
С осью \(Oy\), при \(x=0\): \[ y=\frac3{0+1}-2=1. \] Точка: \(\boxed{(0;1)}\).
С осью \(Ox\), при \(y=0\): \[ \frac3{x+1}-2=0 \quad\Rightarrow\quad 3=2(x+1) \quad\Rightarrow\quad x=\frac12. \] Точка: \(\boxed{\left(\frac12;0\right)}\).
4. Точки для построения
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-\frac32\) | \(-\frac12\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-3\) | \(-5\) | \(-8\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) |
Нарисуй две отдельные плавные ветви:
- при \(x>-1\) — выше прямой \(y=-2\);
- при \(x<-1\) — ниже прямой \(y=-2\).
Обе ветви приближаются к асимптотам, но не пересекают их.
Нижняя часть задания 2 после слов «Для этого» обрезана. Пришлёшь фото оставшихся пунктов?
