Реши задание на изображении
Краткие ответы
- x = −2,25
- а) x = 0; ±√15 б) x = ±4; ±√3
- x = 2; x = −2
- x = ±1; x = ±2
- Первый — 9 деталей/ч, второй — 12 деталей/ч
Разбор
1. Раскрываем скобки (слева формула разности квадратов):
\[(x+3)(x-3)-x(x+4)=x^2-9-x^2-4x=0 \Rightarrow -4x=9 \Rightarrow x=-2{,}25\]2. а) Выносим общий множитель:
\[x^3-15x=x(x^2-15)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=\pm\sqrt{15}\]б) Замена \(t=x^2\) (\(t\ge 0\)): \(t^2-19t+48=0\). По теореме Виета \(t_1+t_2=19\), \(t_1 t_2=48\), значит \(t=16\) или \(t=3\). Из \(x^2=16\): \(x=\pm4\); из \(x^2=3\): \(x=\pm\sqrt3\).
3. Дробь равна 0, когда числитель = 0, а знаменатель ≠ 0. Числитель группируем: \(x^2(x-7)-4(x-7)=(x-7)(x^2-4)=(x-7)(x-2)(x+2)\). Знаменатель: \(x^2-49=(x-7)(x+7)\). Сокращаем \((x-7)\), остаётся \(\frac{(x-2)(x+2)}{x+7}=0\), но \(x\neq\pm7\). Корни: \(x=2,\ x=-2\).
4. Та же замена: \(t=(x^2+3)\), тогда
\[t^2-11t+28=0 \Rightarrow t=4 \text{ или } t=7\]Возвращаемся: \(x^2+3=4 \Rightarrow x=\pm1\); \(x^2+3=7 \Rightarrow x=\pm2\).
5. Пусть первый делает \(x\) дет./ч, тогда второй \(x+3\). Время первого: \(\frac{108}{x}\), второго: \(\frac{108}{x+3}\), и первый работал на 3 ч дольше:
\[\frac{108}{x}-\frac{108}{x+3}=3\]Умножаем на \(x(x+3)\): \(108(x+3)-108x=3x(x+3) \Rightarrow 324=3x^2+9x \Rightarrow x^2+3x-108=0\). Корни: \(x=9\) и \(x=-12\) (не подходит). Значит первый — 9 дет./ч, второй — 12 дет./ч.
Проверка (№5): 108 : 9 = 12 ч; 108 : 12 = 9 ч; 12 − 9 = 3 ✓
Главный принцип: биквадратное и подобное уравнение решается заменой переменной (\(t=x^2\)), а в дробном уравнении обязательно проверяем, что знаменатель не равен нулю.
