116 номер с графиком
Ответ № 116
а) \(x\in(-\infty;-7)\cup\left(\frac12;+\infty\right)\).
б) \(x\in\left(-\infty;\frac23\right)\cup\left(\frac23;+\infty\right)\).
в) \(x\in\left(\frac12;\frac53\right)\).
г) \(x\in\left(-\infty;-\frac92\right)\cup(2;+\infty)\).
д) \(x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac23;+\infty\right)\).
е) \(x\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)\).
Как решать с помощью графика
Рассматриваем параболу \(y=ax^2+bx+c\).
- Находим её нули — решаем уравнение \(ax^2+bx+c=0\).
- Определяем направление ветвей: при \(a>0\) — вверх, при \(a<0\) — вниз.
- Для неравенства \(>0\) выбираем участки графика выше оси \(x\), а для \(<0\) — ниже оси \(x\).
Все неравенства в задании строгие, поэтому нули в ответ не включаем. Графики ниже схематичные, без соблюдения масштаба.
а) \(2x^2+13x-7>0\)
Найдём нули: \[ 2x^2+13x-7=(2x-1)(x+7)=0, \] \[ x=-7\quad\text{или}\quad x=\frac12. \]
Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому ветви направлены вверх.
\ /
───────●───────●───────→ x
\ /
\___/
−7 1/2
Выше оси находятся два внешних участка: \(x<-7\) и \(x>\frac12\).
б) \(-9x^2+12x-4<0\)
Заметим, что \[ -9x^2+12x-4=-(3x-2)^2. \]
Единственный нуль: \[ 3x-2=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac23. \]
Ветви направлены вниз. Парабола касается оси \(x\), а не пересекает её.
───────────●───────────→ x
/ \
/ \
/ \
2/3
Квадрат положителен при \(x\ne\frac23\), поэтому его противоположное число отрицательно. Подходят все числа, кроме \(\frac23\).
в) \(6x^2-13x+5<0\)
Найдём нули: \[ 6x^2-13x+5=(3x-5)(2x-1)=0, \] \[ x=\frac12\quad\text{или}\quad x=\frac53. \]
Ветви направлены вверх.
\ /
───────●───────●───────→ x
\ /
\___/
1/2 5/3
Ниже оси парабола расположена между нулями: \[ \frac12<x<\frac53. \]
г) \(-2x^2-5x+18<0\)
Найдём нули: \[ -2x^2-5x+18=-(2x+9)(x-2)=0, \] \[ x=-\frac92\quad\text{или}\quad x=2. \]
Ветви направлены вниз.
_____
/ \
───────●───────●───────→ x
/ \
−9/2 2
Ниже оси находятся два внешних участка: \[ x<-\frac92\quad\text{или}\quad x>2. \]
д) \(3x^2-2x>0\)
Найдём нули: \[ x(3x-2)=0, \] \[ x=0\quad\text{или}\quad x=\frac23. \]
Ветви направлены вверх.
\ /
───────●───────●───────→ x
\ /
\___/
0 2/3
Выше оси находятся два внешних участка: \[ x<0\quad\text{или}\quad x>\frac23. \]
е) \(8-x^2<0\)
Найдём нули: \[ 8-x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x^2=8 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2\sqrt2. \]
Ветви направлены вниз.
_____
/ \
───────●───────●───────→ x
/ \
−2√2 2√2
Ниже оси находятся два внешних участка: \[ x<-2\sqrt2\quad\text{или}\quad x>2\sqrt2. \]
Проверка на примере пункта в): число \(1\) лежит между \(\frac12\) и \(\frac53\). Подставим: \[ 6\cdot1^2-13\cdot1+5=-2<0. \] Значит, выбранный по графику промежуток подходит.
Обсуждение
9 сообщений?
116 с графиком
№ 116 — ответы
| Пункт | Множество решений |
|---|---|
| а) | \(x\in(-\infty;-7)\cup\left(\frac12;+\infty\right)\) |
| б) | \(x\in\left(-\infty;\frac23\right)\cup\left(\frac23;+\infty\right)\) |
| в) | \(x\in\left(\frac12;\frac53\right)\) |
| г) | \(x\in\left(-\infty;-\frac92\right)\cup(2;+\infty)\) |
| д) | \(x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac23;+\infty\right)\) |
| е) | \(x\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)\) |
Решение с графиками
Принцип: при \(f(x)>0\) выбираем участки графика выше оси \(Ox\), при \(f(x)<0\) — ниже. Все неравенства строгие, поэтому нули функций в ответ не включаем. Графики ниже схематические.
а) \(2x^2+13x-7>0\)
Разложим на множители: \[ 2x^2+13x-7=(2x-1)(x+7). \] Нули: \(x=-7\) и \(x=\frac12\). Ветви параболы направлены вверх.
╲ ╱
───────●───────────────●──────→ x
╲ ╱
╲_________╱
−7 1/2
График выше оси слева от \(-7\) и справа от \(\frac12\).
б) \(-9x^2+12x-4<0\)
\[ -9x^2+12x-4=-(3x-2)^2. \] Единственный нуль: \(x=\frac23\). Ветви направлены вниз, вершина лежит на оси \(Ox\).
2/3
────────────────●────────────────→ x
╱ ╲
╱ ╲
╱ ╲
График ниже оси при всех \(x\), кроме \(\frac23\): в этой точке значение равно нулю.
в) \(6x^2-13x+5<0\)
\[ 6x^2-13x+5=(2x-1)(3x-5). \] Нули: \(x=\frac12\) и \(x=\frac53\). Ветви направлены вверх.
╲ ╱
───────●───────────────●──────→ x
╲ ╱
╲_________╱
1/2 5/3
График ниже оси между \(\frac12\) и \(\frac53\).
г) \(-2x^2-5x+18<0\)
\[ -2x^2-5x+18=-(2x+9)(x-2). \] Нули: \(x=-\frac92\) и \(x=2\). Ветви направлены вниз.
╱‾‾‾‾‾‾‾‾‾╲
╱ ╲
───────●───────────────●──────→ x
╱ ╲
−9/2 2
График ниже оси слева от \(-\frac92\) и справа от \(2\).
д) \(3x^2-2x>0\)
\[ 3x^2-2x=x(3x-2). \] Нули: \(x=0\) и \(x=\frac23\). Ветви направлены вверх.
╲ ╱
───────●───────────────●──────→ x
╲ ╱
╲_________╱
0 2/3
График выше оси слева от \(0\) и справа от \(\frac23\).
е) \(8-x^2<0\)
Найдём нули: \[ 8-x^2=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2=8 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm2\sqrt2. \] Ветви параболы направлены вниз.
╱‾‾‾‾‾‾‾‾‾╲
╱ ╲
───────●───────────────●──────→ x
╱ ╲
−2√2 2√2
График ниже оси слева от \(-2\sqrt2\) и справа от \(2\sqrt2\).
Вот так реши, как на тетради
№ 116 — через дискриминант, как в тетради
Графики схематические, без соблюдения масштаба.
а) \(2x^2+13x-7>0\)
Найдём нули функции: \[ 2x^2+13x-7=0. \] \[ D=13^2-4\cdot2\cdot(-7)=169+56=225. \] \[ x_1=\frac{-13-15}{4}=-7,\qquad x_2=\frac{-13+15}{4}=\frac12. \]
\(a=2>0\), значит, ветви параболы направлены вверх.
╲ ╱
╲ ╱
─────────●───────────────●────────→ x
╲ ╱
╲_________╱
−7 1/2
Выбираем части графика выше оси \(Ox\).
\[ \boxed{x\in(-\infty;-7)\cup\left(\frac12;+\infty\right)} \]
В тетради в пункте а) нужно исправить ответ: подходят промежутки вне корней, а не между ними.
б) \(-9x^2+12x-4<0\)
\[ -9x^2+12x-4=0. \] \[ D=12^2-4\cdot(-9)\cdot(-4)=144-144=0. \] \[ x_1=x_2=\frac{-12}{2\cdot(-9)}=\frac23. \]
\(a=-9<0\), значит, ветви направлены вниз. Парабола касается оси \(Ox\).
2/3
───────────────────●──────────────────→ x
╱ ╲
╱ ╲
╱ ╲
График ниже оси \(Ox\) при всех \(x\), кроме \(\frac23\).
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac23\right)\cup \left(\frac23;+\infty\right)} \]
в) \(6x^2-13x+5<0\)
\[ 6x^2-13x+5=0. \] \[ D=(-13)^2-4\cdot6\cdot5=169-120=49. \] \[ x_1=\frac{13-7}{12}=\frac12,\qquad x_2=\frac{13+7}{12}=\frac53. \]
\(a=6>0\), значит, ветви направлены вверх.
╲ ╱
╲ ╱
─────────●───────────────●────────→ x
╲ ╱
╲_________╱
1/2 5/3
Выбираем часть графика ниже оси \(Ox\) — между корнями.
\[ \boxed{x\in\left(\frac12;\frac53\right)} \]
г) \(-2x^2-5x+18<0\)
\[ -2x^2-5x+18=0. \] \[ D=(-5)^2-4\cdot(-2)\cdot18=25+144=169. \] \[ x_1=\frac{5+13}{-4}=-\frac92,\qquad x_2=\frac{5-13}{-4}=2. \]
\(a=-2<0\), значит, ветви направлены вниз.
╱‾‾‾‾‾‾‾‾‾╲
╱ ╲
─────────●───────────────●────────→ x
╱ ╲
╱ ╲
−9/2 2
Выбираем части графика ниже оси \(Ox\) — вне корней.
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac92\right)\cup(2;+\infty)} \]
д) \(3x^2-2x>0\)
\[ 3x^2-2x=0. \] \[ D=(-2)^2-4\cdot3\cdot0=4. \] \[ x_1=\frac{2-2}{6}=0,\qquad x_2=\frac{2+2}{6}=\frac23. \]
\(a=3>0\), значит, ветви направлены вверх.
╲ ╱
╲ ╱
─────────●───────────────●────────→ x
╲ ╱
╲_________╱
0 2/3
Выбираем части графика выше оси \(Ox\) — вне корней.
\[ \boxed{x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac23;+\infty\right)} \]
е) \(8-x^2<0\)
\[ -x^2+8=0. \] \[ D=0^2-4\cdot(-1)\cdot8=32,\qquad \sqrt D=4\sqrt2. \] \[ x_1=\frac{4\sqrt2}{-2}=-2\sqrt2,\qquad x_2=\frac{-4\sqrt2}{-2}=2\sqrt2. \]
\(a=-1<0\), значит, ветви направлены вниз.
╱‾‾‾‾‾‾‾‾‾╲
╱ ╲
─────────●───────────────●────────→ x
╱ ╲
╱ ╲
−2√2 2√2
Выбираем части графика ниже оси \(Ox\) — вне корней.
\[ \boxed{x\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)} \]
Во всех пунктах неравенства строгие, поэтому корни в ответы не включаем.
Точно так же реши 119 номер
№ 119 — через дискриминант, с графиками
Графики схематические, без соблюдения масштаба. Все неравенства строгие, поэтому корни в ответ не включаем.
а) \(0{,}01x^2<1\)
Перенесём всё в левую часть: \[ 0{,}01x^2-1<0. \]
Найдём нули функции: \[ 0{,}01x^2-1=0. \] \[ D=0^2-4\cdot0{,}01\cdot(-1)=0{,}04. \] \[ x_1=\frac{-0{,}2}{0{,}02}=-10,\qquad x_2=\frac{0{,}2}{0{,}02}=10. \]
\(a=0{,}01>0\), значит, ветви параболы направлены вверх.
╲ ╱
╲ ╱
─────────●───────────────●────────→ x
╲ ╱
╲_________╱
−10 10
Выбираем часть графика ниже оси \(Ox\) — между корнями.
\[ \boxed{x\in(-10;10)} \]
б) \(\dfrac12x^2>12\)
Перенесём всё в левую часть: \[ \frac12x^2-12>0. \]
Найдём нули функции: \[ \frac12x^2-12=0. \] \[ D=0^2-4\cdot\frac12\cdot(-12)=24, \qquad \sqrt D=2\sqrt6. \] \[ x_1=\frac{-2\sqrt6}{2\cdot\frac12}=-2\sqrt6,\qquad x_2=\frac{2\sqrt6}{2\cdot\frac12}=2\sqrt6. \]
\(a=\frac12>0\), значит, ветви направлены вверх.
╲ ╱
╲ ╱
─────────●───────────────●────────→ x
╲ ╱
╲_________╱
−2√6 2√6
Выбираем части графика выше оси \(Ox\) — вне корней.
\[ \boxed{x\in(-\infty;-2\sqrt6)\cup(2\sqrt6;+\infty)} \]
в) \(4x<-x^2\)
Перенесём всё в левую часть: \[ x^2+4x<0. \]
Найдём нули функции: \[ x^2+4x=0. \] \[ D=4^2-4\cdot1\cdot0=16. \] \[ x_1=\frac{-4-4}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{-4+4}{2}=0. \]
\(a=1>0\), значит, ветви направлены вверх.
╲ ╱
╲ ╱
─────────●───────────────●────────→ x
╲ ╱
╲_________╱
−4 0
Выбираем часть графика ниже оси \(Ox\) — между корнями.
\[ \boxed{x\in(-4;0)} \]
г) \(\dfrac13x^2>\dfrac19\)
Умножим обе части на \(9>0\), сохранив знак неравенства: \[ 3x^2>1, \] \[ 3x^2-1>0. \]
Найдём нули функции: \[ 3x^2-1=0. \] \[ D=0^2-4\cdot3\cdot(-1)=12, \qquad \sqrt D=2\sqrt3. \] \[ x_1=\frac{-2\sqrt3}{6}=-\frac{\sqrt3}{3},\qquad x_2=\frac{2\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{3}. \]
\(a=3>0\), значит, ветви направлены вверх.
╲ ╱
╲ ╱
─────────●───────────────●────────→ x
╲ ╱
╲_________╱
−√3/3 √3/3
Выбираем части графика выше оси \(Ox\) — вне корней.
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac{\sqrt3}{3}\right) \cup\left(\frac{\sqrt3}{3};+\infty\right)} \]
д) \(6x^2>2x\)
Перенесём всё в левую часть: \[ 6x^2-2x>0. \]
Найдём нули функции: \[ 6x^2-2x=0. \] \[ D=(-2)^2-4\cdot6\cdot0=4. \] \[ x_1=\frac{2-2}{12}=0,\qquad x_2=\frac{2+2}{12}=\frac13. \]
\(a=6>0\), значит, ветви направлены вверх.
╲ ╱
╲ ╱
─────────●───────────────●────────→ x
╲ ╱
╲_________╱
0 1/3
Выбираем части графика выше оси \(Ox\) — вне корней.
\[ \boxed{x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac13;+\infty\right)} \]
е) \(-0{,}3x<0{,}8x^2\)
Перенесём всё в правую часть: \[ 0{,}8x^2+0{,}3x>0. \]
Умножим обе части на \(10>0\): \[ 8x^2+3x>0. \]
Найдём нули функции: \[ 8x^2+3x=0. \] \[ D=3^2-4\cdot8\cdot0=9. \] \[ x_1=\frac{-3-3}{16}=-\frac38,\qquad x_2=\frac{-3+3}{16}=0. \]
\(a=8>0\), значит, ветви направлены вверх.
╲ ╱
╲ ╱
─────────●───────────────●────────→ x
╲ ╱
╲_________╱
−3/8 0
Выбираем части графика выше оси \(Ox\) — вне корней.
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac38\right)\cup(0;+\infty)} \]
В д и е не те числа. Д) 5 x ² > 2x e) -0,3x < 0,6 x ²
В пунктах д) и е) я неверно записал коэффициенты. Исправляю решение с графиками.
д) \(5x^2>2x\)
Перенесём всё в левую часть: \[ 5x^2-2x>0. \]
Найдём нули функции \(y=5x^2-2x\): \[ 5x^2-2x=0. \] \[ D=(-2)^2-4\cdot5\cdot0=4. \] \[ x_1=\frac{2-2}{10}=0,\qquad x_2=\frac{2+2}{10}=\frac25. \]
\(a=5>0\), поэтому ветви параболы направлены вверх.
╲ ╱
╲ ╱
─────────○───────────────○────────→ x
╲ ╱
╲_________╱
0 2/5
Нужны части графика выше оси \(Ox\) — вне корней.
\[ \boxed{x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac25;+\infty\right)} \]
е) \(-0{,}3x<0{,}6x^2\)
Перенесём всё в правую часть: \[ 0{,}6x^2+0{,}3x>0. \]
Умножим обе части на \(10>0\), знак неравенства сохраним: \[ 6x^2+3x>0. \]
Найдём нули функции \(y=6x^2+3x\): \[ 6x^2+3x=0. \] \[ D=3^2-4\cdot6\cdot0=9. \] \[ x_1=\frac{-3-3}{12}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{-3+3}{12}=0. \]
\(a=6>0\), поэтому ветви параболы направлены вверх.
╲ ╱
╲ ╱
─────────○───────────────○────────→ x
╲ ╱
╲_________╱
−1/2 0
Нужны части графика выше оси \(Ox\) — вне корней.
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup(0;+\infty)} \]
Оба неравенства строгие, поэтому корни в ответы не включаем. Графики схематические.
