Реши задание на изображении
Краткие ответы
| Задание | Ответ | Ограничения из исходного выражения |
|---|---|---|
| 97 а) | \(\displaystyle -\frac{8}{2a+b}\) | \(a\ne0,\ b\ne\pm2a\) |
| 97 б) | \(\displaystyle \frac{36}{(a^2-9)^2}\) | \(a\ne\pm3\) |
| 97 в) | \(\displaystyle \frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}\) | \(x\ne2\) |
| 97 г) | \(\displaystyle \frac1{a-1}\) | \(a\ne1\) |
| 98 а) | \(\displaystyle \frac2{a-4b}\) | \(a\ne\pm4b\) |
| 98 б) | \(\displaystyle \frac1b\) | \(b\ne0,\ a\ne\pm b\) |
| 126 а) | \(\displaystyle \frac{3(x-y)}2\) | \(m\ne0,\ m\ne-4,\ x+y\ne0\) |
| 126 б) | \(\displaystyle \frac{ax}{7(x-y)}\) | \(x\ne y,\ x\ne-y\) |
| 126 в) | \((x-y)^2\) | \(x+y\ne0,\ x^2+xy+y^2\ne0\) |
| 126 г) | \(\displaystyle \frac{a-1}{(a+1)^2}\) | \(a\ne-1\) |
Принцип решения
- При сложении и вычитании дробей раскладываем знаменатели на множители и приводим дроби к общему знаменателю.
- При умножении раскладываем числители и знаменатели на множители, затем сокращаем общие множители.
- Сокращать можно множители, но не отдельные слагаемые. Ограничения берём из исходных знаменателей и сохраняем после сокращения.
№ 97
а)
Разложим знаменатели: \[ 2a^2-ab=a(2a-b),\qquad 4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b), \] \[ 2a^2+ab=a(2a+b). \]
Общий знаменатель — \(a(2a-b)(2a+b)\). Получаем: \[ \begin{aligned} &\frac{2a+b}{2a^2-ab} -\frac{16a}{4a^2-b^2} -\frac{2a-b}{2a^2+ab}\\[2mm] &=\frac{(2a+b)^2-16a^2-(2a-b)^2} {a(2a-b)(2a+b)}. \end{aligned} \]
Упростим числитель: \[ (2a+b)^2-(2a-b)^2-16a^2 =8ab-16a^2=-8a(2a-b). \]
Значит, \[ \frac{-8a(2a-b)}{a(2a-b)(2a+b)} =\boxed{-\frac8{2a+b}}. \]
б)
Так как \(a^2-9=(a-3)(a+3)\), общий знаменатель равен \((a-3)^2(a+3)^2=(a^2-9)^2\).
\[ \begin{aligned} &\frac1{(a-3)^2}-\frac2{a^2-9}+\frac1{(a+3)^2}\\ &=\frac{(a+3)^2-2(a^2-9)+(a-3)^2}{(a^2-9)^2}. \end{aligned} \]
В числителе: \[ a^2+6a+9-2a^2+18+a^2-6a+9=36. \]
Поэтому ответ: \[ \boxed{\frac{36}{(a^2-9)^2}}. \]
в)
Используем формулу разности кубов: \[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4). \]
Тогда \[ \begin{aligned} &\frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}+\frac1{x-2}\\ &=\frac{(x-2)^2-6x+(x^2+2x+4)} {(x-2)(x^2+2x+4)}. \end{aligned} \]
Числитель равен \[ x^2-4x+4-6x+x^2+2x+4 =2x^2-8x+8=2(x-2)^2. \]
После сокращения: \[ \boxed{\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}},\qquad x\ne2. \]
г)
Разложим: \[ a^3-1=(a-1)(a^2+a+1). \]
После приведения к этому знаменателю числитель будет равен: \[ \begin{aligned} &2a^2+7a+3-(1-2a)(a-1)-3(a^2+a+1)\\ &=2a^2+7a+3+2a^2-3a+1-3a^2-3a-3\\ &=a^2+a+1. \end{aligned} \]
Поэтому \[ \frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} =\boxed{\frac1{a-1}}. \]
№ 98
а)
Здесь важно заметить противоположные выражения: \[ 16b^2-a^2=-(a^2-16b^2). \]
Поэтому перед третьей дробью после замены знаменателя будет плюс: \[ \begin{aligned} &\frac1{a-4b}-\frac1{a+4b}-\frac{2a}{16b^2-a^2}\\ &=\frac{a+4b-(a-4b)+2a}{(a-4b)(a+4b)}\\ &=\frac{2a+8b}{(a-4b)(a+4b)} =\frac{2(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)}\\ &=\boxed{\frac2{a-4b}}. \end{aligned} \]
б)
Сначала сложим первые две дроби: \[ \begin{aligned} \frac1{2b-2a}+\frac1{2b+2a} &=\frac1{2(b-a)}+\frac1{2(b+a)}\\ &=\frac{(b+a)+(b-a)}{2(b-a)(b+a)}\\ &=\frac{b}{b^2-a^2} =-\frac{b}{a^2-b^2}. \end{aligned} \]
У третьей дроби \[ a^2b-b^3=b(a^2-b^2). \]
Теперь: \[ -\frac{b}{a^2-b^2}+\frac{a^2}{b(a^2-b^2)} =\frac{-b^2+a^2}{b(a^2-b^2)} =\boxed{\frac1b}. \]
№ 126
Здесь во всех пунктах нужно разложить выражения на множители и сократить.
а)
\[ \begin{aligned} \frac{mx^2-my^2}{2m+8}\cdot\frac{3m+12}{my+mx} &=\frac{m(x-y)(x+y)}{2(m+4)} \cdot\frac{3(m+4)}{m(x+y)}\\ &=\boxed{\frac{3(x-y)}2}. \end{aligned} \]
б)
\[ \begin{aligned} \frac{ax+ay}{x^2-2xy+y^2}\cdot\frac{x^2-xy}{7x+7y} &=\frac{a(x+y)}{(x-y)^2} \cdot\frac{x(x-y)}{7(x+y)}\\ &=\boxed{\frac{ax}{7(x-y)}}. \end{aligned} \]
в)
Применяем формулы разности кубов и разности квадратов: \[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2), \] \[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]
Отсюда: \[ \begin{aligned} \frac{x^3-y^3}{x+y}\cdot\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2} &=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x+y} \cdot\frac{(x-y)(x+y)}{x^2+xy+y^2}\\ &=\boxed{(x-y)^2}. \end{aligned} \]
г)
Используем три разложения: \[ a^2-1=(a-1)(a+1), \] \[ a^3+1=(a+1)(a^2-a+1),\qquad a^2+2a+1=(a+1)^2. \]
Тогда \[ \begin{aligned} \frac{a^2-1}{a^3+1}\cdot\frac{a^2-a+1}{a^2+2a+1} &=\frac{(a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)} \cdot\frac{a^2-a+1}{(a+1)^2}\\ &=\boxed{\frac{a-1}{(a+1)^2}}. \end{aligned} \]
Проверка на примере № 98 а)
Возьмём допустимые значения \(a=5,\ b=1\).
Исходное выражение: \[ \frac1{5-4}-\frac1{5+4}-\frac{10}{16-25} =1-\frac19+\frac{10}{9}=2. \]
Полученный ответ: \[ \frac2{5-4}=2. \]
Значения совпали. Такая подстановка помогает обнаружить ошибку, хотя основное доказательство — выполненные преобразования.
