Cos α-? ctg α=1/2

\[ \boxed{\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt5}{5}} \] Чтобы выбрать знак, нужно знать, в какой четверти находится угол \(\alpha\).

Как получить ответ

По определению котангенса: \[ \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac12. \] Значит, \(\sin\alpha=2\cos\alpha\).

Подставим это в основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \] \[ (2\cos\alpha)^2+\cos^2\alpha=1, \] \[ 5\cos^2\alpha=1 \quad\Rightarrow\quad \cos\alpha=\pm\frac1{\sqrt5}=\pm\frac{\sqrt5}{5}. \]

Почему два знака? Котангенс положителен и в I, и в III четверти:

• в I четверти \(\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\);
• в III четверти \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{5}\).

В условии указано, что угол острый, или дана его четверть?