Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. E) \(-\sqrt8;\ \sqrt{14}\).
2. C) \(4<\sqrt{19}<5\).
3. \(20\).
4. \(\sqrt{40}>2\sqrt5\).
5. \(2(\sqrt{29}+\sqrt{11})\).
6. \(\sqrt{x}-10\sqrt{2y}\), где \(x\ge0,\ y\ge0\).
7. \(a=12\).
8. Равенство верно при \(a\ge0,\ a\ne3\).

Решение с объяснениями

1. Выбрать иррациональные числа

Иррациональное число нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Его десятичная запись бесконечная и непериодическая.

Из предложенных чисел иррациональны: \[ \boxed{-\sqrt8;\ \sqrt{14}}, \] поскольку \(8\) и \(14\) не являются квадратами целых чисел.

Остальные числа рациональные: целые, обыкновенные дроби, конечные или периодические десятичные дроби. Например, \[ -1{,}333\ldots=-1{,}(3)=-\frac43. \]

Ответ: E.

2. Найти два последовательных натуральных числа, между которыми находится \(\sqrt{19}\)

Находим ближайшие к \(19\) квадраты натуральных чисел: \[ 4^2=16,\qquad 5^2=25. \] Так как \[ 16<19<25, \] то \[ \boxed{4<\sqrt{19}<5}. \]

Ответ: C.

3. Найти значение выражения

\[ (6\sqrt5+\sqrt{20})\cdot2\sqrt5 -(10\sqrt3-2\sqrt{27})\cdot5\sqrt3. \]

Сначала выносим квадратные множители из-под корней: \[ \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5,\qquad \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3. \]

Подставляем и приводим подобные слагаемые: \[ \begin{aligned} &(6\sqrt5+2\sqrt5)\cdot2\sqrt5 -(10\sqrt3-6\sqrt3)\cdot5\sqrt3\\ &=8\sqrt5\cdot2\sqrt5-4\sqrt3\cdot5\sqrt3\\ &=16\cdot5-20\cdot3=80-60=\boxed{20}. \end{aligned} \]

Здесь использовано свойство \(\sqrt b\cdot\sqrt b=b\).

4. Сравнить \(\sqrt{40}\) и \(2\sqrt5\)

Оба числа положительные, поэтому можно сравнить их квадраты: \[ (\sqrt{40})^2=40,\qquad (2\sqrt5)^2=4\cdot5=20. \] Поскольку \(40>20\), получаем: \[ \boxed{\sqrt{40}>2\sqrt5}. \]

5. Устранить иррациональность в знаменателе

\[ \frac{36}{\sqrt{29}-\sqrt{11}}. \]

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{29}+\sqrt{11}\). Тогда в знаменателе получится разность квадратов: \[ \begin{aligned} \frac{36}{\sqrt{29}-\sqrt{11}} &=\frac{36(\sqrt{29}+\sqrt{11})} {(\sqrt{29}-\sqrt{11})(\sqrt{29}+\sqrt{11})}\\ &=\frac{36(\sqrt{29}+\sqrt{11})}{29-11}\\ &=\boxed{2(\sqrt{29}+\sqrt{11})}. \end{aligned} \]

Проверка: умножение ответа на исходный знаменатель даёт \[ 2(\sqrt{29}+\sqrt{11})(\sqrt{29}-\sqrt{11}) =2(29-11)=36. \]

6. Упростить выражение

\[ 3\sqrt{4x}+\sqrt{50y}-\sqrt{25x}-5\sqrt{18y}. \]

Для существования всех корней необходимо \(x\ge0,\ y\ge0\).

Выносим квадратные множители: \[ \sqrt{4x}=2\sqrt x,\quad \sqrt{50y}=5\sqrt{2y},\quad \sqrt{25x}=5\sqrt x,\quad \sqrt{18y}=3\sqrt{2y}. \]

Тогда \[ \begin{aligned} &3\cdot2\sqrt x+5\sqrt{2y}-5\sqrt x-5\cdot3\sqrt{2y}\\ &=(6-5)\sqrt x+(5-15)\sqrt{2y}\\ &=\boxed{\sqrt x-10\sqrt{2y}}. \end{aligned} \]

Принцип: складывать коэффициенты можно у слагаемых с одинаковыми корнями.

7. Найти \(a\), если график \(y=\sqrt x\) проходит через \(A(a;\,2\sqrt3)\)

Координаты точки должны удовлетворять формуле функции: \[ 2\sqrt3=\sqrt a. \] Возводим обе части в квадрат: \[ a=(2\sqrt3)^2=4\cdot3=\boxed{12}. \]

Проверка: \(\sqrt{12}=2\sqrt3\), значит точка подходит.

8. Доказать равенство

\[ \left(\frac1{\sqrt3-\sqrt a}+ \frac1{\sqrt3+\sqrt a}\right): \frac6{a\sqrt3-3\sqrt3}=-1. \]

Область допустимых значений: \[ a\ge0,\qquad a\ne3. \] При этих условиях корни существуют, знаменатели не равны нулю и делитель не равен нулю.

Складываем дроби в скобках: \[ \frac1{\sqrt3-\sqrt a}+\frac1{\sqrt3+\sqrt a} =\frac{\sqrt3+\sqrt a+\sqrt3-\sqrt a}{3-a} =\frac{2\sqrt3}{3-a}. \]

Учитываем, что \(a\sqrt3-3\sqrt3=\sqrt3(a-3)\), и заменяем деление умножением на обратную дробь: \[ \begin{aligned} \frac{2\sqrt3}{3-a}:\frac6{\sqrt3(a-3)} &=\frac{2\sqrt3}{3-a}\cdot\frac{\sqrt3(a-3)}6\\ &=\frac{6(a-3)}{6(3-a)} =\frac{a-3}{3-a} =\boxed{-1}. \end{aligned} \] Последний переход верен, потому что \(a-3=-(3-a)\). Равенство доказано.