Объясни как это все решается

Во всех этих примерах главное — научиться замечать удобную форму выражения. Где-то нужно получить произведение скобок, а где-то — выделить квадрат. Разберём не только действия, но и то, зачем мы их выполняем.

1. Разложение на множители

Разложить выражение на множители — значит заменить сумму произведением, не изменив её значения.

а) \(x^2-18x+45\)

Попробуем представить выражение так: \[ (x-m)(x-n). \]

Если раскрыть скобки, получится: \[ (x-m)(x-n)=x^2-(m+n)x+mn. \]

Сравниваем с нашим выражением: \[ x^2-18x+45. \]

Значит, нужны два числа, у которых: \[ m+n=18,\qquad mn=45. \]

Это 3 и 15: \[ 3+15=18,\qquad 3\cdot15=45. \]

Поэтому \[ \boxed{x^2-18x+45=(x-3)(x-15)}. \]

Как проверить себя: раскрой скобки. Средние слагаемые дадут \(-15x-3x=-18x\).

б) \(9x^2+25x-6\)

Здесь покажу способ группировки — он позволяет обойтись без дискриминанта.

Нужно разбить среднее слагаемое \(25x\) на два так, чтобы затем появились одинаковые скобки.

Для этого ищем два числа:

• их сумма равна \(25\);
• их произведение равно \(9\cdot(-6)=-54\).

Подходят \(27\) и \(-2\). Поэтому: \[ 9x^2+25x-6=9x^2+27x-2x-6. \]

Группируем первые два и последние два слагаемых: \[ (9x^2+27x)+(-2x-6). \]

Из первой группы выносим \(9x\), из второй — \(-2\): \[ 9x(x+3)-2(x+3). \]

Теперь у двух слагаемых есть общий множитель \((x+3)\). Выносим его: \[ \boxed{(9x-2)(x+3)}. \]

Это тот же принцип, что и \[ AB-CB=(A-C)B. \]

---

2. Функция \(y=x^2-8x+13\)

Сначала приведём её к удобному виду

Вспомним формулу: \[ (x-a)^2=x^2-2ax+a^2. \]

Чтобы получить \(-8x\), нужно взять \(a=4\): \[ (x-4)^2=x^2-8x+16. \]

Но в нашем выражении в конце стоит \(13\), а не \(16\). Значит, нужно вычесть \(3\): \[ \boxed{y=(x-4)^2-3}. \]

Это называется выделить полный квадрат.

Что теперь видно?

Квадрат не бывает отрицательным: \[ (x-4)^2\geqslant0. \]

Самое маленькое значение квадрата — \(0\), оно получается при \(x=4\). Тогда: \[ y=0-3=-3. \]

Значит:

• вершина параболы — \(\boxed{(4;-3)}\);
• ось симметрии — \(x=4\);
• ветви направлены вверх, потому что перед квадратом стоит плюс.

Для построения можно отметить точки:

\(x\)	2	3	4	5	6
\(y\)	1	\(-2\)	\(-3\)	\(-2\)	1

Почему значения повторяются? Числа \(3\) и \(5\) одинаково удалены от \(4\), поэтому квадраты \((3-4)^2\) и \((5-4)^2\) равны.

а) Найти \(y\), если \(x=1{,}5\)

Если известно \(x\), просто подставляем его вместо \(x\): \[ y=(1{,}5-4)^2-3 =(-2{,}5)^2-3 =6{,}25-3. \]

\[ \boxed{y=3{,}25}. \]

б) Найти \(x\), если \(y=2\)

Теперь известно значение функции. Поэтому вместо \(y\) записываем \(2\): \[ 2=(x-4)^2-3. \]

Прибавляем \(3\) к обеим частям: \[ (x-4)^2=5. \]

Важный момент: квадрат равен \(5\) у двух чисел — \(\sqrt5\) и \(-\sqrt5\). Поэтому: \[ x-4=\pm\sqrt5, \] \[ \boxed{x=4-\sqrt5\quad\text{или}\quad x=4+\sqrt5}. \]

Приблизительно это \(1{,}76\) и \(6{,}24\).

в) Нули функции и знаки

Нули функции — это значения \(x\), при которых \(y=0\).

Подставляем: \[ (x-4)^2-3=0, \] \[ (x-4)^2=3. \]

Отсюда: \[ \boxed{x_1=4-\sqrt3,\qquad x_2=4+\sqrt3}. \]

Теперь представь параболу с ветвями вверх. Между точками пересечения с осью \(Ox\) она проходит ниже оси, а за ними — выше оси.

Поэтому: \[ \boxed{y<0\text{ при }x\in(4-\sqrt3;\,4+\sqrt3)}; \] \[ \boxed{y>0\text{ при }x\in(-\infty;\,4-\sqrt3)\cup(4+\sqrt3;\,+\infty)}. \]

В самих корнях значение равно нулю, поэтому их не включаем в промежутки положительности и отрицательности.

г) Где функция возрастает?

Смотрим на параболу слева направо:

• до вершины она опускается — функция убывает;
• после вершины поднимается — функция возрастает.

Вершина находится при \(x=4\), поэтому: \[ \boxed{\text{функция возрастает на }[4;+\infty)}. \]

---

3. Сокращение дроби

\[ \frac{7b^2+11b-6}{9-49b^2}. \]

Главное правило: сокращать можно множители, а не отдельные слагаемые. Поэтому сначала нужно получить произведения.

Шаг 1. Записываем ограничения

Делить на ноль нельзя: \[ 9-49b^2\ne0. \]

Знаменатель обращается в ноль при \(b=\frac37\) и \(b=-\frac37\). Поэтому: \[ \boxed{b\ne\pm\frac37}. \]

Шаг 2. Раскладываем числитель

Разбиваем \(11b\) на \(14b-3b\): \[ 7b^2+11b-6 =7b^2+14b-3b-6. \]

Группируем: \[ 7b(b+2)-3(b+2) =(7b-3)(b+2). \]

Шаг 3. Раскладываем знаменатель

Используем формулу разности квадратов: \[ A^2-B^2=(A-B)(A+B). \]

Получаем: \[ 9-49b^2=(3-7b)(3+7b). \]

Но \[ 3-7b=-(7b-3). \]

Поэтому: \[ 9-49b^2=-(7b-3)(7b+3). \]

Шаг 4. Сокращаем

\[ \frac{(7b-3)(b+2)}{-(7b-3)(7b+3)} =-\frac{b+2}{7b+3}. \]

Итак: \[ \boxed{-\frac{b+2}{7b+3},\qquad b\ne\pm\frac37}. \]

Ограничения сохраняются: сокращение не делает допустимыми те значения, при которых исходная дробь не существовала.

---

4. Наименьшее значение \(-x^2+6x-4\)

Здесь снова выделяем квадрат: \[ -x^2+6x-4 =-(x^2-6x+4). \]

Внутри скобок до \((x-3)^2\) не хватает числа \(9\): \[ x^2-6x+4=(x-3)^2-5. \]

Следовательно: \[ -x^2+6x-4 =-\bigl((x-3)^2-5\bigr) =\boxed{5-(x-3)^2}. \]

Теперь рассуждаем:

• \((x-3)^2\geqslant0\);
• мы вычитаем этот квадрат из \(5\);
• значит, получить больше \(5\) невозможно.

При \(x=3\) квадрат равен нулю, и значение выражения равно \(5\). Это наибольшее значение.

А наименьшего нет: чем больше квадрат \((x-3)^2\), тем меньше результат, причём уменьшать его можно без ограничения.

\[ \boxed{\text{Наименьшего значения нет; наибольшее равно }5\text{ при }x=3.} \]

Запомни различие: выражение \((x-a)^2+c\) имеет минимум, а выражение \(-(x-a)^2+c\) — максимум, если \(x\) может быть любым действительным числом.

1. Разложить на множители

а) \[ x^2-18x+45=\boxed{(x-3)(x-15)}. \]

б) \[ 9x^2+25x-6=9x(x+3)-2(x+3) =\boxed{(9x-2)(x+3)}. \]

2. \(y=x^2-8x+13\)

\[ y=x^2-8x+16-3=(x-4)^2-3. \]

Вершина — \((4;-3)\), ось симметрии — \(x=4\), ветви направлены вверх.

Точки для построения:

\(x\)	2	3	4	5	6
\(y\)	1	\(-2\)	\(-3\)	\(-2\)	1

а) При \(x=1{,}5\): \[ y=(1{,}5-4)^2-3=\boxed{3{,}25}. \]

б) При \(y=2\): \[ (x-4)^2-3=2 \Rightarrow (x-4)^2=5 \Rightarrow \boxed{x=4\pm\sqrt5}. \] \[ x_1\approx1{,}76,\qquad x_2\approx6{,}24. \]

в) Нули функции: \[ (x-4)^2-3=0 \Rightarrow \boxed{x=4\pm\sqrt3}. \]

\[ y>0\text{ при }x\in(-\infty;4-\sqrt3)\cup(4+\sqrt3;+\infty); \] \[ y<0\text{ при }x\in(4-\sqrt3;4+\sqrt3). \]

г) Функция возрастает на \(\boxed{[4;+\infty)}\).

3. Сократить дробь

ОДЗ: \(b\ne\pm\frac37\).

\[ \frac{7b^2+11b-6}{9-49b^2} =\frac{7b(b+2)-3(b+2)}{(3-7b)(3+7b)} \] \[ =\frac{(7b-3)(b+2)}{-(7b-3)(7b+3)} =\boxed{-\frac{b+2}{7b+3}},\qquad b\ne\pm\frac37. \]

4. Найти наименьшее значение

\[ -x^2+6x-4=-(x-3)^2+5. \]

Так как \((x-3)^2\ge0\), то \[ -(x-3)^2+5\le5. \]

Ответ: наименьшего значения нет. Наибольшее значение равно \(5\) при \(x=3\).

\[ -x^2+6x-4=-(x^2-6x+4)=-\bigl((x-3)^2-5\bigr)=5-(x-3)^2 \]

\[ (x-3)^2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad 5-(x-3)^2\le 5 \]

\[ \boxed{y_{\max}=5 \text{ при } x=3;\quad \text{наименьшего значения нет.}} \]