Реши 2 уравнение
Ответ: \(\boxed{x=5}\).
Второе уравнение: \[ x=1+\sqrt{x+11}. \]
Оставим корень в одной части уравнения: \[ x-1=\sqrt{x+11}. \] Квадратный корень неотрицателен, поэтому \(x-1\ge0\), то есть \(x\ge1\).
Возведём обе части в квадрат: \[ (x-1)^2=x+11. \] Раскроем скобки и перенесём всё влево: \[ x^2-2x+1=x+11, \] \[ x^2-3x-10=0. \] Разложим на множители: \[ (x-5)(x+2)=0. \] Получаем \(x=5\) или \(x=-2\).
Проверим найденные значения. Число \(-2\) не подходит под условие \(x\ge1\). Подставим \(x=5\) в исходное уравнение: \[ 5=1+\sqrt{5+11}=1+4=5. \] Равенство верное.
Главный принцип: сначала выделяем корень, затем возводим обе части в квадрат и проверяем найденные значения, поскольку при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни.
Обсуждение
3 сообщенияРеши 3 и 4 уравнение
Реши 3 и 4 уравнение
Ответ: 3) \(x=-3\) или \(x=4\); 4) \(x=4\).
3) \(\sqrt{x^2-x-3}=3\).
Возведём обе части в квадрат: \[ x^2-x-3=9, \] \[ x^2-x-12=0. \] Разложим на множители: \[ (x-4)(x+3)=0. \] Отсюда \(x=4\) или \(x=-3\).
Проверим оба значения: \[ x=4:\quad \sqrt{16-4-3}=\sqrt9=3; \] \[ x=-3:\quad \sqrt{9+3-3}=\sqrt9=3. \] Оба корня подходят.
4) \(x+\sqrt{x}=2(x-1)\).
Корень определён при \(x\ge0\). Раскроем скобки и выразим корень: \[ x+\sqrt{x}=2x-2, \] \[ \sqrt{x}=x-2. \] Левая часть неотрицательна, поэтому \(x-2\ge0\), то есть \(x\ge2\).
Возведём обе части в квадрат: \[ x=(x-2)^2, \] \[ x^2-5x+4=0, \] \[ (x-1)(x-4)=0. \] Получаем \(x=1\) или \(x=4\). Значение \(x=1\) не подходит под условие \(x\ge2\).
Проверим \(x=4\): \[ 4+\sqrt4=2(4-1), \qquad 6=6. \] Следовательно, \(\boxed{x=4}\).
