Реши задание на изображении
Краткий ответ:
| Пункт | I вариант | II вариант |
|---|---|---|
| а) | \(x^2\) | \(\dfrac{1}{a^2}\) |
| б) | \(\dfrac{1}{a^9}\) | \(x^3\) |
| в) | \(m^3\) | \(a^3\) |
| г) | \(m^6\) | \(\dfrac{1}{x^8}\) |
| д) | \(c\) | \(c\) |
Во всех примерах переменная должна быть отлична от нуля, поскольку в исходных выражениях есть отрицательные показатели степени.
Для решения нужны следующие правила:
- При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем: \[ u^p\cdot u^q=u^{p+q}. \]
- При делении показатели вычитаем: \[ u^p:u^q=u^{p-q}. \]
- При возведении степени в степень показатели перемножаем: \[ (u^p)^q=u^{pq}. \]
- Отрицательный показатель означает обратную величину: \[ u^{-n}=\frac1{u^n}. \]
В I варианте получаем:
а) \[ x^{-3}\cdot x^5=x^{-3+5}=\boxed{x^2}. \]
б) \[ a^{-7}\cdot a^{-2}=a^{-7+(-2)}=a^{-9} =\boxed{\frac1{a^9}}. \]
в) \[ m^{-3}:m^{-6}=m^{-3-(-6)}=m^3. \] Здесь вычитаем отрицательное число: \(-3-(-6)=-3+6=3\).
г) \[ (m^{-3})^{-2}=m^{(-3)\cdot(-2)}=\boxed{m^6}. \]
д) Сначала упрощаем степени в числителе и знаменателе: \[ \frac{(c^3)^{-2}\cdot c^{10}} {c^{-4}\cdot(c^{-1})^{-7}} = \frac{c^{-6}\cdot c^{10}} {c^{-4}\cdot c^7} = \frac{c^4}{c^3} =c^{4-3}=\boxed{c}. \]
Во II варианте действуем так же:
а) \[ a^3\cdot a^{-5}=a^{3+(-5)}=a^{-2} =\boxed{\frac1{a^2}}. \]
б) \[ x^{-3}\cdot x^6=x^{-3+6}=\boxed{x^3}. \]
в) \[ a^{-3}:a^{-6}=a^{-3-(-6)}=\boxed{a^3}. \]
г) \[ (x^2)^{-4}=x^{2\cdot(-4)}=x^{-8} =\boxed{\frac1{x^8}}. \]
д) \[ \frac{(c^{-5})^{-1}\cdot c^{-7}} {c^3\cdot(c^{-2})^3} = \frac{c^5\cdot c^{-7}} {c^3\cdot c^{-6}} = \frac{c^{-2}}{c^{-3}} =c^{-2-(-3)}=\boxed{c}. \]
Проверим пункт д) I варианта при \(c=2\): \[ \frac{(2^3)^{-2}\cdot2^{10}} {2^{-4}\cdot(2^{-1})^{-7}} = \frac{\frac1{64}\cdot1024}{\frac1{16}\cdot128} = \frac{16}{8}=2. \] Упрощённое выражение \(c\) тоже равно \(2\): значения совпали.
