Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x=2\) или \(x=3\).
Разложим левую часть на множители. Для этого найдём два числа, сумма которых равна \(-5\), а произведение — \(6\). Это \(-2\) и \(-3\): \[ -2+(-3)=-5,\qquad (-2)\cdot(-3)=6. \]
Поэтому уравнение можно записать так: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \] Отсюда \(x=2\) или \(x=3\).
Проверим подстановкой в исходное уравнение:
- При \(x=2\): \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\).
- При \(x=3\): \(3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\).
Оба корня подходят.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) в каждой скобке берётся из \(x^2\): ведь \(x^2=x\cdot x\). Разберём, как получается \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Мы хотим представить исходное выражение как произведение двух скобок.
Чтобы при умножении получилось \(x^2\), в каждой скобке ставим \(x\): \[ (x+\ldots)(x+\ldots). \]
Остальные числа подбираем так, чтобы после раскрытия скобок получились \(-5x\) и \(6\). Подходят \(-2\) и \(-3\).
Посмотрим, почему. Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй: \[ \begin{aligned} (x-2)(x-3) &=x\cdot x+x\cdot(-3)+(-2)\cdot x+(-2)\cdot(-3)\\ &=x^2-3x-2x+6\\ &=x^2-5x+6. \end{aligned} \]
То есть \(x\) в скобках — та же неизвестная, что и в исходном уравнении. Мы просто записали одно и то же выражение по-другому.
