Докажите,что прямая,проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии

Краткий ответ: да, такая прямая является осью симметрии прямоугольника: отражение относительно неё переводит прямоугольник сам в себя.

Доказательство

Пусть прямоугольник \(ABCD\), а \(M\) и \(N\) — середины противоположных сторон \(AB\) и \(CD\). Докажем, что прямая \(MN\) — ось симметрии.

1. В прямоугольнике \(AB\parallel CD\), а \(AD\perp AB\) и \(BC\perp AB\).
2. Отрезок \(MN\) соединяет середины параллельных сторон \(AB\) и \(CD\), поэтому \(MN\parallel AD\parallel BC\). Значит, \[ MN\perp AB,\qquad MN\perp CD. \]
3. Точка \(M\) — середина \(AB\), и прямая \(MN\) перпендикулярна \(AB\). Поэтому \(MN\) — серединный перпендикуляр к отрезку \(AB\). Аналогично \(MN\) — серединный перпендикуляр к \(CD\).
4. При отражении относительно серединного перпендикуляра концы отрезка меняются местами: \[ A\leftrightarrow B,\qquad D\leftrightarrow C. \] Значит, прямоугольник переходит в себя.

Следовательно, прямая, проходящая через середины противоположных сторон, — ось симметрии прямоугольника.

Проверка: если взять другую пару противоположных сторон — \(AD\) и \(BC\), — рассуждение полностью аналогично. У неквадратного прямоугольника таких осей две.