Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это продолжение: ты прислал изображение в ответ на мою просьбу. Решаю вариант 2 методом интервалов — кратко, с ключевыми шагами.

1. \((x+1)(2x-5)(3-x)(x-4)<0\) \(3-x=-(x-3)\), поэтому после умножения на \(-1\): \((x+1)(2x-5)(x-3)(x-4)>0\). Корни: \(-1;\ 2{,}5;\ 3;\ 4\) — все простые, знаки чередуются справа налево: \(+,-,+,-,+\). Ответ: \(x\in(-\infty;-1)\cup(2{,}5;3)\cup(4;+\infty)\).

2. \(-x^2+7x-10\le0 \iff x^2-7x+10\ge0 \iff (x-2)(x-5)\ge0\). Ответ: \(x\in(-\infty;2]\cup[5;+\infty)\).

3. \(x^3-4x^2-x+4=x^2(x-4)-(x-4)=(x-4)(x-1)(x+1)>0\). Корни \(-1;1;4\), старший коэффициент \(>0\). Ответ: \(x\in(-1;1)\cup(4;+\infty)\).

4. \((x-1)^2(x+5)>0\). Квадрат неотрицателен, при \(x\ne1\) он положителен, значит знак даёт только \(x+5>0\), но \(x=1\) надо исключить. Ответ: \(x\in(-5;1)\cup(1;+\infty)\).

5. Перенесём всё влево и вынесем общий множитель: \((x^2-6x+4)(x^2-9-2x)\ge0\), т.е. \((x^2-6x+4)(x^2-2x-9)\ge0\). Корни: \(3\pm\sqrt5\) и \(1\pm\sqrt{10}\); порядок: \(1-\sqrt{10}<3-\sqrt5<1+\sqrt{10}<3+\sqrt5\). Ответ: \(x\in(-\infty;1-\sqrt{10}]\cup[3-\sqrt5;1+\sqrt{10}]\cup[3+\sqrt5;+\infty)\).

6. \(4-x=-(x-4)\), поэтому \(\dfrac{(3x+2)(x-7)}{(x-2)(4-x)}\ge0 \iff \dfrac{(3x+2)(x-7)}{(x-2)(x-4)}\le0\). Нули числителя: \(-\frac23;\ 7\), знаменателя (выколоты): \(2;\ 4\). Ответ: \(x\in\left[-\frac23;2\right)\cup(4;7]\).

7. \(\dfrac{x^2(7-x)^4(x+2)}{(x+5)^3}\ge0\). Множители \(x^2\) и \((7-x)^4\) не меняют знак; знак меняется только в точках \(-2\) и \(-5\) (выколота). При \(x>-2\) дробь положительна, при \(-5<x<-2\) отрицательна, при \(x<-5\) снова положительна. Ответ: \(x\in(-\infty;-5)\cup[-2;+\infty)\).

8. \(\dfrac{(x+5)^2}{8+2x-x^2}\le0\), где \(8+2x-x^2=-(x-4)(x+2)\). Числитель \(\ge0\), поэтому дробь \(\le0\), когда знаменатель \(<0\), т.е. \(x<-2\) или \(x>4\) (точки \(-2\) и \(4\) выколоты; \(x=-5\) уже входит). Ответ: \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)\).

9. \(x^4-7x^2+12=(x^2-3)(x^2-4)=(x^2-3)(x-2)(x+2)>0\). Корни: \(-2;\ -\sqrt3;\ \sqrt3;\ 2\), все простые. Ответ: \(x\in(-\infty;-2)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(2;+\infty)\).

Общий принцип: все множители раскладываем на линейные, отмечаем нули (нули знаменателя — выколотые), расставляем знаки справа налево с чередованием, а у множителей в чётной степени знак не меняется.