даны точки A,BиM.постройте точку симметричную точке Mотносительно середине отрезка AB
Краткий ответ: пусть \(O\) — середина отрезка \(AB\). Искомая точка \(M'\) — это отражение \(M\) от точки \(O\), то есть \(O\) должна быть серединой отрезка \(MM'\). Поэтому \(OM'=OM\), а точки \(M,O,M'\) лежат на одной прямой.
Построение
Построй середину \(O\) отрезка \(AB\):
- проведи окружности одинакового радиуса с центрами \(A\) и \(B\) (радиус больше \(\frac{AB}{2}\));
- через точки их пересечения проведи прямую;
- её точка пересечения с \(AB\) — это \(O\).
Проведи прямую \(OM\).
На прямой \(OM\) по другую сторону от \(O\), чем \(M\), отложи отрезок \[ OM'=OM. \] Удобно циркулем: радиус \(OM\), центр \(O\); вторая точка пересечения окружности с прямой \(OM\) и есть \(M'\).
Точка \(M'\) — искомая.
Почему это верно
По построению:
- \(O\) — середина \(AB\), значит \(AO=OB\);
- \(O\) — середина \(MM'\), значит \(MO=OM'\), и \(M,O,M'\) лежат на одной прямой.
А симметрия точки \(M\) относительно точки \(O\) означает ровно то, что \(O\) является серединой отрезка \(MM'\). Значит, \(M'\) построена верно.
Проверка по координатам: если \(O=\frac{A+B}{2}\), то \[ M'=2O-M=A+B-M. \]
Если \(M\) совпадает с \(O\), то искомая точка — сама \(M\).
