Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3\]

Как это решается — три способа

1. По теореме Виета (работает, когда коэффициент при \(x^2\) равен 1)

Для уравнения \(x^2+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\):

\[x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6\]

Подбираем два числа: они дают в произведении 6 и в сумме 5. Это 2 и 3. Всё.

2. Разложением на множители

Ищем два числа с произведением 6 и суммой 5 — те же 2 и 3, значит:

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x-2=0\) или \(x-3=0\), то есть \(x=2\) или \(x=3\).

3. Через дискриминант (универсальный способ — работает всегда)

\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1\]

\(D>0\) — два корня:

\[x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}\] \[x_1=\frac{6}{2}=3,\qquad x_2=\frac{4}{2}=2\]

Проверка

Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✔ Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✔

Принцип, чтобы решать похожие

1. Если \(a=1\) — сначала пробуй Виета или разложение: это быстрее всего. Подбирай числа, у которых произведение \(=q\), а сумма \(=-p\).
2. Если \(a\neq 1\) (например, \(2x^2-7x+3=0\)) — Виета работает хуже, надёжнее дискриминант: \(D=b^2-4ac\). Затем \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
3. Смотри на знак \(D\): \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
4. Всегда проверяй подстановкой — 10 секунд, зато ошибку в знаках поймаешь сразу.